Questão 3 - 2,9 pontos

Determine se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique.
a) O vetor (3,1,5) pertence ao subespaço gerado pelos vetores (0,-2,2) e (1,3,-1).
b) O vetor de coordenadas do polinômio p(x)=2-x+x^{2} em relação à base ordenada \beta= \left\{1+x, 1+x^{2}, x+x^{2}\right\} é p_{\beta}=(4,-1,2).
c) Seja A uma matriz real 2 \times 2 cujos autovalores são \lambda=5 e \lambda=-2. Seja x_{1}=(2,3) um autovetor de A associado ao autovalor \lambda=5 e x_{2}=(1,-1) um autovetor de A associado ao autovalor \lambda=-2. Então A pode ser diagonalizada pela matriz P=\left[\begin{array}{cc}2 & 1 \\\\ 3 & -1\end{array}\right] e o resultado da diagonalização é a matriz D=\left[\begin{array}{cc}-2 & 0 \\\\ 0 & 5\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado tem três afirmações sobre espaços vetoriais e diagonalização.
Conteúdo: (a) verificar se um vetor pertence a um subespaço gerado por dois vetores via combinação linear;
(b) encontrar coordenadas de um polinômio em relação a uma base ordenada resolvendo um sistema para os coeficientes;
(c) recordar que, para diagonalizar A, as colunas de P devem ser autovetores e a matriz diagonal D deve ter os autovalores na mesma ordem dessas colunas.

Passo 2

Para (a), buscamos \alpha,\beta\) tais que \[\alpha(0,-2,2)+\beta(1,3,-1)=(3,1,5).
Isso dá o sistema
\begin{cases} \beta = 3,\\\\ -2\alpha+3\beta = 1,\\\\ 2\alpha-\beta = 5. \end{cases}
De \beta=3\], a segunda equação vira \(-2\alpha+9=1, logo \alpha=4. A terceira eq. checa: 2\cdot4-3=5. Tudo consistente, então (3,1,5) está no subespaço.

Passo 3

Para (b), escrevemos
c_1(1+x)+c_2(1+x^2)+c_3(x+x^2)=2 - x + x^2.
Expandindo, obtemos
(c_1+c_2) + (c_1+c_3)x + (c_2+c_3)x^2 = 2 - x + x^2,
ou seja
\begin{cases} c_1 + c_2 = 2,\\\ c_1 + c_3 = -1,\\\ c_2 + c_3 = 1. \end{cases}
Da segunda eq. c_1=-1-c_3. Substituindo na primeira vem c_2=3+c_3. Na terceira: (3+c_3)+c_3=1 implica c_3=-1, c_2=2, c_1=0. Logo p_\beta=(0,2,-1), que difere de (4,-1,2).

Passo 4

Para (c), como P tem primeira coluna x_1 associado a \lambda=5 e segunda coluna x_2 associado a \lambda=-2, a diagonal resultante deve ser
D = \begin{pmatrix}5&0\\\ 0&-2\end{pmatrix}.
A afirmação que dá D=\begin{pmatrix}-2&0\\\ 0&5\end{pmatrix} está trocando a ordem dos autovalores em relação às colunas de P.

Resposta

a) Verdadeira.
b) Falsa.
c) Falsa.

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