Dê as definições de:
Classes laterais;

Passo 1

O enunciado pede para definirmos as classes laterais de um subgrupo H em um grupo G. Vamos introduzir a relação de equivalência que gera essas classes e, a partir dela, dar as definições das classes laterais esquerda e direita.

Passo 2

Definimos a relação em G por
x\sim y \quad\Longleftrightarrow\quad x^{-1}y\in H.
É fácil ver que isso é uma relação de equivalência, cujas classes são conjuntos de elementos de G que diferem por um elemento de H. A classe de equivalência de um elemento g\in G é chamada de classe lateral esquerda e se escreve
gH = \{\,g\,h \mid h\in H\}.

Passo 3

De modo análogo, podemos usar a relação
x\approx y \quad\Longleftrightarrow\quad y\,x^{-1}\in H
cuja classe de g é a classe lateral direita, dada por
H\,g = \{\,h\,g \mid h\in H\}.

Resposta

(a) Para g\in G, a classe lateral esquerda de H em G é
gH = \{\,g\,h \mid h\in H\}.
(b) Para g\in G, a classe lateral direita de H em G é
H\,g = \{\,h\,g \mid h\in H\}.

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