(1, 0 PT) (ENADE-2011) O conjunto G=\left\{\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right]: a, b, c, d \in \mathbb{Z},|a d-b c|=1\right\}, com a operação usual de produto de matrizes, forma um grupo, em que o elemento neutro é a matriz identidade I=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right]. Dado um elemento A \in G, define-se a ordem de A como sendo o menor inteiro positivo m tal que A^{m}=I, caso m exista. Se não existir, diz-se que A tem ordem infinita. Considerando A=\left[\begin{array}{cc}-1 & -1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{cc}-1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right], avalie as asserções a seguir.
O elemento A B tem ordem seis.
PORQUE
A tem ordem três e B tem ordem dois.
A respeito dessas asserções, assinale a opção correta.
a) As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa correta da primeira.
b) As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa correta da primeira.
c) A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda, uma proposição falsa.
d) A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda, uma proposição verdadeira.
e) Tanto a primeira quanto a segunda asserções são proposições falsas.

Passo 1

O enunciado está no contexto de teoria de grupos, mais precisamente do grupo
G = \Bigl\{\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}:a,b,c,d\in\mathbb{Z},\,ad - bc = 1\Bigr\}
com a operação de produto de matrizes. Para cada elemento X\in G, a ordem de X é o menor inteiro positivo m tal que X^m = I, se existir; caso contrário, diz-se que a ordem é infinita. Queremos verificar:
  1. Se AB tem ordem seis.
  2. Se A tem ordem três e B tem ordem dois.

Passo 2

Para encontrar a ordem de
A = \begin{pmatrix}-1 & -1\\\\ 1 & 0\end{pmatrix},
calculamos A^2 e A^3.
Em cálculo matricial,
A^2 = A\cdot A = \begin{pmatrix}-1 & -1\\\\ 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1 & -1\\\\ 1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 1\\\\ -1 & -1\end{pmatrix}.
Em seguida,
A^3 = A^2\cdot A = \begin{pmatrix}0 & 1\\\\ -1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1 & -1\\\\ 1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\\\ 0 & 1\end{pmatrix} = I.
Logo, o menor m>0 com A^m = I é m=3. Assim, A tem ordem três.

Passo 3

Para
B = \begin{pmatrix}-1 & 0\\\\ 0 & 1\end{pmatrix},
vemos diretamente que
B^2 = \begin{pmatrix}-1 & 0\\\\ 0 & 1\end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix}1 & 0\\\\ 0 & 1\end{pmatrix} = I,
e não existe inteiro positivo menor que 2 que satisfaça B^m=I. Logo, B tem ordem dois.

Passo 4

Agora calculemos
AB = \begin{pmatrix}-1 & -1\\\\ 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1 & 0\\\\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & -1\\\\ -1 & 0\end{pmatrix}.
Se AB tivesse ordem finita n, teríamos (AB)^n = I. No entanto, notamos que (AB)^k gera a sequência de matrizes
(AB)^k = \begin{pmatrix}F_{k+1} & -F_k\\\\ -F_k & F_{k-1}\end{pmatrix},
onde F_k é o k-ésimo número de Fibonacci. Essa matriz só retorna à identidade quando F_k satisfaz certas condições que não ocorrem para nenhum k>0. Em particular, testando até k=6 obtém-se sempre entradas diferentes de \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix}. Portanto, AB não tem ordem seis nem qualquer ordem finita: sua ordem é infinita.

Passo 5

Concluímos que:
  • A primeira asserção (“o elemento AB tem ordem seis”) é falsa.
  • A segunda asserção (“ A tem ordem três e B tem ordem dois”) é verdadeira.
A opção que traduz corretamente essa situação é a letra d).

Resposta

d)

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