Dê as definições de:
Subgrupos;
Subgrupos;
Passo 1
O enunciado pede a definição de subgrupo dentro de Teoria de Grupos, ou seja, como caracterizar um subconjunto de um grupo que ele próprio forma um grupo com a mesma operação.
Passo 2
Seja
um grupo com identidade
e inverso denotado por
. Então um subconjunto
é chamado de subgrupo se, com a operação
restrita a
, ele satisfaz os axiomas de grupo. Equivalentemente, podemos usar um dos seguintes critérios:
Critério clássico (três condições)
-
. - Fechamento: para todo
, tem-se . - Inversos: para todo
, tem-se .
Critério compacto (um único requisito)
– e para todos
aplica-se
–
Esse requisito implica automaticamente presença de
, fechamento e inversos, garantindo que
seja grupo.
Resposta
Um subconjunto
de um grupo
é subgrupo se, com a mesma operação
,
for um grupo. Equivalentemente, basta exigir que
e que, para quaisquer
, tenha-se
.