Dê as definições de:
Subgrupos;

Passo 1

O enunciado pede a definição de subgrupo dentro de Teoria de Grupos, ou seja, como caracterizar um subconjunto de um grupo que ele próprio forma um grupo com a mesma operação.

Passo 2

Seja (G,\ast) um grupo com identidade e e inverso denotado por x^{-1}. Então um subconjunto H\subseteq G é chamado de subgrupo se, com a operação \ast restrita a H, ele satisfaz os axiomas de grupo. Equivalentemente, podemos usar um dos seguintes critérios:
Critério clássico (três condições)
  1. H\neq\emptyset.
  2. Fechamento: para todo x,y\in H, tem-se x\ast y\in H.
  3. Inversos: para todo x\in H, tem-se x^{-1}\in H.
Critério compacto (um único requisito)
H\neq\emptyset e para todos x,y\in H aplica-se
x\ast y^{-1}\in H.
Esse requisito implica automaticamente presença de e, fechamento e inversos, garantindo que (H,\ast) seja grupo.

Resposta

Um subconjunto H de um grupo (G,\ast) é subgrupo se, com a mesma operação \ast, (H,\ast) for um grupo. Equivalentemente, basta exigir que H\neq\emptyset e que, para quaisquer x,y\in H, tenha-se x\ast y^{-1}\in H.

Exercícios relacionados