(2, 0 PT ) Construa a tábua do grupo
com a operação
assim definida:
resto da divisão em
de
por 5
Responda justificando os seguintes itens:
a) Qual é o elemento neutro do grupo
?
b) Qual é o simétrico de cada elemento do grupo?
c) Esse grupo é abeliano?
d) Quais são os subgrupos de
?
Responda justificando os seguintes itens:
a) Qual é o elemento neutro do grupo
b) Qual é o simétrico de cada elemento do grupo?
c) Esse grupo é abeliano?
d) Quais são os subgrupos de
Passo 1
O enunciado pede para construir a tábua de operação de
com
e, com base nela, determinar (a) o elemento neutro, (b) o inverso de cada elemento, (c) se o grupo é abeliano e (d) todos os subgrupos de
. Vamos usar aritmética modular e propriedades de grupos finitos.
Passo 2
Construindo a tábua de Cayley, cada entrada é
:
Passo 3
O elemento neutro
satisfaz
para todo
. Na tábua, a linha e a coluna de
reproduzem
. Logo
Passo 4
Para cada
buscamos
tal que
, isto é,
Portanto os inversos são:
Passo 5
Como
é dado por
, que é simétrico em
, a tábua é simétrica em torno da diagonal. Logo o grupo é comutativo (abeliano).
Passo 6
Sabe-se que qualquer grupo cíclico de ordem prima
só tem os subgrupos trivial e o próprio grupo. Aqui o elemento gerador, por exemplo, é
(pois
, depois gera todos). Assim os subgrupos são apenas
Resposta
a) O neutro é
.
b) Os inversos são ,
,
,
,
.
c) Sim, o grupo é abeliano.
d) Os subgrupos são e
.
b) Os inversos são
c) Sim, o grupo é abeliano.
d) Os subgrupos são