(2, 0 PT ) Construa a tábua do grupo G=\{0,1,2,3,4\} com a operação \oplus assim definida: x \oplus y= resto da divisão em \mathbb{Z} de x+y+1 por 5
Responda justificando os seguintes itens:
a) Qual é o elemento neutro do grupo G ?
b) Qual é o simétrico de cada elemento do grupo?
c) Esse grupo é abeliano?
d) Quais são os subgrupos de G ?

Passo 1

O enunciado pede para construir a tábua de operação de G=\{0,1,2,3,4\} com
x\oplus y \equiv x + y + 1 \pmod{5}
e, com base nela, determinar (a) o elemento neutro, (b) o inverso de cada elemento, (c) se o grupo é abeliano e (d) todos os subgrupos de G. Vamos usar aritmética modular e propriedades de grupos finitos.

Passo 2

Construindo a tábua de Cayley, cada entrada é (x+y+1)\bmod5:
\begin{array}{c|ccccc} \oplus & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\hline 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 0 \\\\ 1 & 2 & 3 & 4 & 0 & 1 \\\\ 2 & 3 & 4 & 0 & 1 & 2 \\\\ 3 & 4 & 0 & 1 & 2 & 3 \\\\ 4 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \end{array}

Passo 3

O elemento neutro e satisfaz e\oplus x = x para todo x. Na tábua, a linha e a coluna de 4 reproduzem x. Logo
e = 4.

Passo 4

Para cada x buscamos y tal que x\oplus y = e=4, isto é,
x + y + 1 \equiv 4 \pmod{5} \quad\Longrightarrow\quad x + y \equiv 3 \pmod{5} \quad\Longrightarrow\quad y \equiv 3 - x \pmod{5}.
Portanto os inversos são:
0^{-1}=3,\; 1^{-1}=2,\; 2^{-1}=1,\; 3^{-1}=0,\; 4^{-1}=4.

Passo 5

Como \oplus é dado por (x+y+1)\bmod5, que é simétrico em x,y, a tábua é simétrica em torno da diagonal. Logo o grupo é comutativo (abeliano).

Passo 6

Sabe-se que qualquer grupo cíclico de ordem prima 5 só tem os subgrupos trivial e o próprio grupo. Aqui o elemento gerador, por exemplo, é 0 (pois 0\oplus0=1, depois gera todos). Assim os subgrupos são apenas
\{4\} \quad\text{e}\quad \{0,1,2,3,4\}.

Resposta

a) O neutro é 4.
b) Os inversos são 0^{-1}=3, 1^{-1}=2, 2^{-1}=1, 3^{-1}=0, 4^{-1}=4.
c) Sim, o grupo é abeliano.
d) Os subgrupos são \{4\} e \{0,1,2,3,4\}.

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