Demonstrar que o triângulo ABC é isósceles, nos seguintes casos: \mathrm{A}=(2,-1,2), \quad \mathrm{B}=(1,2,0), \quad \mathrm{C}=(4,0,-1).
Passo 1
O enunciado dá os pontos \mathrm{A}=(2,-1,2), \mathrm{B}=(1,2,0) e \mathrm{C}=(4,0,-1) e pede para mostrar que o triângulo ABC é isósceles. Para isso vamos usar distância entre pontos no espaço, isto é, desigualdade de norma de vetores em \mathbb{R}^3.
Passo 2
Calculamos o vetor \overrightarrow{AB} e sua norma ao quadrado: \overrightarrow{AB}=B-A=(1-2,\;2-(-1),\;0-2)=(-1,3,-2). Logo,
Como \|\overrightarrow{AB}\| = \|\overrightarrow{AC}\|, os lados AB e AC têm o mesmo comprimento. Logo o triângulo ABC é isósceles, com vértice principal em A.
Resposta
O triângulo ABC é isósceles, pois AB = AC = \sqrt{14}.