Demonstrar que o triângulo ABC é isósceles, nos seguintes casos:
\mathrm{A}=(2,-1,2), \quad \mathrm{B}=(1,2,0), \quad \mathrm{C}=(4,0,-1).

Passo 1

O enunciado dá os pontos
\mathrm{A}=(2,-1,2), \mathrm{B}=(1,2,0) e \mathrm{C}=(4,0,-1) e pede para mostrar que o triângulo ABC é isósceles. Para isso vamos usar distância entre pontos no espaço, isto é, desigualdade de norma de vetores em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Calculamos o vetor \overrightarrow{AB} e sua norma ao quadrado:
\overrightarrow{AB}=B-A=(1-2,\;2-(-1),\;0-2)=(-1,3,-2). Logo,
\|\overrightarrow{AB}\|^2 = (-1)^2 + 3^2 + (-2)^2 = 1 + 9 + 4 = 14,
\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{14}.

Passo 3

Calculamos o vetor \overrightarrow{AC} e sua norma ao quadrado:
\overrightarrow{AC}=C-A=(4-2,\;0-(-1),\;-1-2)=(2,1,-3). Logo,
\|\overrightarrow{AC}\|^2 = 2^2 + 1^2 + (-3)^2 = 4 + 1 + 9 = 14,
\|\overrightarrow{AC}\| = \sqrt{14}.

Passo 4

Como \|\overrightarrow{AB}\| = \|\overrightarrow{AC}\|, os lados AB e AC têm o mesmo comprimento. Logo o triângulo ABC é isósceles, com vértice principal em A.

Resposta

O triângulo ABC é isósceles, pois AB = AC = \sqrt{14}.

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