1. Como é definida a função composta f \circ g ? Qual seu domínio?

Passo 1

O enunciado faz duas perguntas claras:
  1. Como é definida a função composta \,f\circ g?
  2. Qual é o domínio de \,f\circ g?
Informações implícitas que temos (ou que costumam estar presentes em enunciados desse tipo):
  • Existem duas funções f e g, com seus respectivos domínios e imagens. Vou chamar \operatorname{Dom}(g) o domínio de g e \operatorname{Dom}(f) o domínio de f.
  • Não foram dadas fórmulas específicas para f e g, então a resposta deve ser geral (valer para qualquer par de funções).
  • Não há figura ou tabela necessária: tudo é simbólico.
Não vou resolver nada ainda — só deixei claro o que é pedido e quais dados a questão usa.

Passo 2

Definição intuitiva da composta (a ideia por trás):
Quando escrevemos f\circ g queremos primeiro aplicar g ao ponto x e depois aplicar f ao resultado g(x). Ou seja, a composta faz duas etapas: primeiro g, depois f.
Agora a definição formal e a notação (isso é importante para usar na prova):
Se g é uma função com domínio \operatorname{Dom}(g) e f é uma função com domínio \operatorname{Dom}(f), então a função composta \,f\circ g é a função definida por
(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr)
para cada x em um conjunto apropriado (a gente define esse conjunto no próximo passo). Aqui, g(x) é o valor de g em x, e f\bigl(g(x)\bigr) significa: pegue esse valor e avalie f nele.
Explicando cada símbolo:
  • \,f\circ g é o nome da nova função (lê-se “ f composta com g” ou “ f círculo g”).
  • (f\circ g)(x) é o valor da composta no ponto x.
  • g(x) é o valor de g em x.
  • f\bigl(g(x)\bigr) aplica f ao número g(x).

Passo 3

Agora o ponto crucial: qual é o domínio de \,f\circ g? Vou construir isso passo a passo e explicar o porquê.
Lembre-se: para poder calcular f\bigl(g(x)\bigr) é preciso que duas coisas ocorram simultaneamente:
  1. x esteja em \operatorname{Dom}(g) (caso contrário g(x) não está definido).
  2. O valor g(x) esteja em \operatorname{Dom}(f) (caso contrário f\bigl(g(x)\bigr) não existe).
Portanto, o domínio natural de \,f\circ g é o conjunto de todos os x que satisfazem essas duas condições. Escrevendo isso com matemática:
\operatorname{Dom}(f\circ g)=\{\,x\in\operatorname{Dom}(g)\mid g(x)\in\operatorname{Dom}(f)\,\}.
Essa é a fórmula que você deve decorar e usar na prova: "domínio da composta = pontos do domínio de g cuja imagem por g pertence ao domínio de f".

Passo 4

Interpretação prática dessa definição (como usar passo a passo numa prova):
  1. Anote \operatorname{Dom}(g): quais valores x g aceita.
  2. Anote \operatorname{Dom}(f): quais valores t ( t é o argumento de f) f aceita.
  3. Resolva a condição g(x)\in\operatorname{Dom}(f): transforme isso em uma condição explícita sobre x.
  4. Intersecte com \operatorname{Dom}(g) (às vezes a condição já garante estar em \operatorname{Dom}(g), mas verifique).
    O resultado é \operatorname{Dom}(f\circ g).

Passo 5

Exemplo concreto 1 (bem direto e comum):
Se g(x)=x^2 com \operatorname{Dom}(g)=\mathbb{R} e f(t)=\sqrt{t} com \operatorname{Dom}(f)=[0,\infty), então:
  • Primeiro, \operatorname{Dom}(g)=\mathbb{R}.
  • A condição g(x)\in\operatorname{Dom}(f) vira x^2\ge 0.
  • Como x^2\ge 0 é verdade para todo x\in\mathbb{R}, temos
\operatorname{Dom}(f\circ g)=\mathbb{R}.
A composta é (f\circ g)(x)=\sqrt{x^2}=|x| (observe que a expressão simplificada |x| já reflete domínio \mathbb{R}).

Passo 6

Exemplo concreto 2 (quando domínio fica restrito):
Se g(x)=\dfrac{1}{x} com \operatorname{Dom}(g)=\mathbb{R}\setminus\{0\} e f(t)=\sqrt{t} com \operatorname{Dom}(f)=[0,\infty), então:
  • \operatorname{Dom}(g)=\mathbb{R}\setminus\{0\}.
  • A condição g(x)\in\operatorname{Dom}(f) é \dfrac{1}{x}\ge 0.
  • Resolver \dfrac{1}{x}\ge 0 x>0 (pois para x<0 a fração é negativa, e x\neq0 já está garantido).
  • Interseção com \operatorname{Dom}(g) x>0.
    Logo
\operatorname{Dom}(f\circ g)=(0,\infty).
E (f\circ g)(x)=\sqrt{1/x} para x>0.

Passo 7

Cuidado importante (armadilha comum em provas): não confunda simplificação algébrica com domínio. Exemplo que pega muita gente:
Considere f(t)=\dfrac{t^2-1}{t-1} e g(x)=x+1.
  • Para f, \operatorname{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{1\} (pois t=1 faz o denominador zero).
  • Calcule f\bigl(g(x)\bigr)=\dfrac{(x+1)^2-1}{(x+1)-1}=\dfrac{x^2+2x}{x}=\dfrac{x(x+2)}{x}.
  • Algebricamente isso pode simplificar para x+2, mas a simplificação cancela o fator x, que corresponde a x=0 — ponto onde a expressão original estava indefinida porque naquele ponto g(0)=1 e f(1) não existe.
  • Logo \operatorname{Dom}(f\circ g)=\{x\in\operatorname{Dom}(g)\mid g(x)\neq 1\}. Como \operatorname{Dom}(g)=\mathbb{R} e g(x)=x+1, a condição g(x)\neq 1 é x\neq 0. Portanto
\operatorname{Dom}(f\circ g)=\mathbb{R}\setminus\{0\},
mesmo que a expressão simplificada seja x+2. Em provas, sempre mantenha as restrições originais — não inclua pontos que foram excluídos antes da simplificação.

Passo 8

Resumo prático e receita de receita-de-prova (cola mental que vale ouro):
  • Regra curta: \operatorname{Dom}(f\circ g)=\{x\in\operatorname{Dom}(g)\mid g(x)\in\operatorname{Dom}(f)\}. Decore isso.
  • Procedimento: anote \operatorname{Dom}(g), escreva g(x), imponha condição g(x)\in\operatorname{Dom}(f), resolva em x, intersecte com \operatorname{Dom}(g).
  • Sempre verifique pontos onde houve divisão por zero, argumentos de raiz par negativos, logaritmos de número não positivo, etc.
  • Ao simplificar expressões algébricas, cuide para não reintroduzir pontos excluídos.

Resposta

A função composta (f\circ g) é definida por (f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr).
O domínio de f\circ g é \displaystyle \operatorname{Dom}(f\circ g)=\{\,x\in\operatorname{Dom}(g)\mid g(x)\in\operatorname{Dom}(f)\,\}.

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