- Como é definida a função composta
? Qual seu domínio?
Passo 1
O enunciado faz duas perguntas claras:
- Como é definida a função composta
? - Qual é o domínio de
?
Informações implícitas que temos (ou que costumam estar presentes em enunciados desse tipo):
- Existem duas funções
e , com seus respectivos domínios e imagens. Vou chamar o domínio de e o domínio de . - Não foram dadas fórmulas específicas para
e , então a resposta deve ser geral (valer para qualquer par de funções). - Não há figura ou tabela necessária: tudo é simbólico.
Não vou resolver nada ainda — só deixei claro o que é pedido e quais dados a questão usa.
Passo 2
Definição intuitiva da composta (a ideia por trás):
Quando escrevemos queremos primeiro aplicar
ao ponto
e depois aplicar
ao resultado
. Ou seja, a composta faz duas etapas: primeiro
, depois
.
Quando escrevemos
Agora a definição formal e a notação (isso é importante para usar na prova):
Se é uma função com domínio
e
é uma função com domínio
, então a função composta
é a função definida por
Se
para cada
em um conjunto apropriado (a gente define esse conjunto no próximo passo). Aqui,
é o valor de
em
, e
significa: pegue esse valor e avalie
nele.
Explicando cada símbolo:
-
é o nome da nova função (lê-se “ composta com ” ou “ círculo ”). -
é o valor da composta no ponto . -
é o valor de em . -
aplica ao número .
Passo 3
Agora o ponto crucial: qual é o domínio de
? Vou construir isso passo a passo e explicar o porquê.
Lembre-se: para poder calcular
é preciso que duas coisas ocorram simultaneamente:
-
esteja em (caso contrário não está definido). - O valor
esteja em (caso contrário não existe).
Portanto, o domínio natural de
é o conjunto de todos os
que satisfazem essas duas condições. Escrevendo isso com matemática:
Essa é a fórmula que você deve decorar e usar na prova: "domínio da composta = pontos do domínio de
cuja imagem por
pertence ao domínio de
".
Passo 4
Interpretação prática dessa definição (como usar passo a passo numa prova):
- Anote
: quais valores aceita. - Anote
: quais valores ( é o argumento de ) aceita. - Resolva a condição
: transforme isso em uma condição explícita sobre . - Intersecte com
(às vezes a condição já garante estar em , mas verifique).
O resultado é.
Passo 5
Exemplo concreto 1 (bem direto e comum):
Se com
e
com
, então:
Se
- Primeiro,
. - A condição
vira . - Como
é verdade para todo , temos
A composta é
(observe que a expressão simplificada
já reflete domínio
).
Passo 6
Exemplo concreto 2 (quando domínio fica restrito):
Se com
e
com
, então:
Se
-
. - A condição
é . - Resolver
dá (pois para a fração é negativa, e já está garantido). - Interseção com
dá .
Logo
E
para
.
Passo 7
Cuidado importante (armadilha comum em provas): não confunda simplificação algébrica com domínio. Exemplo que pega muita gente:
Considere e
.
Considere
- Para
, (pois faz o denominador zero). - Calcule
. - Algebricamente isso pode simplificar para
, mas a simplificação cancela o fator , que corresponde a — ponto onde a expressão original estava indefinida porque naquele ponto e não existe. - Logo
. Como e , a condição é . Portanto
mesmo que a expressão simplificada seja
. Em provas, sempre mantenha as restrições originais — não inclua pontos que foram excluídos antes da simplificação.
Passo 8
Resumo prático e receita de receita-de-prova (cola mental que vale ouro):
- Regra curta:
. Decore isso. - Procedimento: anote
, escreva , imponha condição , resolva em , intersecte com . - Sempre verifique pontos onde houve divisão por zero, argumentos de raiz par negativos, logaritmos de número não positivo, etc.
- Ao simplificar expressões algébricas, cuide para não reintroduzir pontos excluídos.
Resposta
A função composta
é definida por
.
O domínio de é
.
O domínio de