- Expresse a função
como uma composição de três funções.
Passo 1
O enunciado pede para escrever a função
como uma composição de três funções.
Informações dadas: a expressão é .
O que precisamos entregar: três funções ,
e
tais que
Informações dadas: a expressão é
O que precisamos entregar: três funções
Passo 2
O que significa escrever como composição de três funções? Significa escolher funções
, depois
que recebe o resultado de
, e depois
que recebe o resultado de
, de modo que ao aplicar
, depois
e depois
em
obtemos
. Em notação:
e
Aqui eu uso letras diferentes (
) para mostrar claramente os papéis das saídas intermediárias.
Passo 3
Estratégia para escolher as funções: observe a estrutura em camadas da fórmula
. Há um
“dentro” de
, e sobre isso está uma raiz quadrada e depois o inverso. Uma ideia natural é:
- tomar
para isolar a raiz interna; - expressar
em termos de . Se , então , logo . Assim escolher ; - finalmente, sobre esse resultado (que chamamos de
) aplicamos .
Passo 4
Definindo explicitamente as funções (cada variável explicada):
Passo 5
Verificação passo a passo (substituindo):
Primeiro calcule . Como
temos
Primeiro calcule
Agora aplique
a esse resultado:
Portanto
ou seja, a decomposição funciona. Observação sobre domínio: para que tudo faça sentido precisamos de
e
; na prática isso exige
(em
a expressão original é
, indefinida).
Passo 6
Resumo final das escolhas (essas três funções compõem-se para dar
; se quiser testar numericamente, por exemplo para
,
,
,
, que é exatamente
).