1. Expresse a função F(x)=1 / \sqrt{x+\sqrt{x}} como uma composição de três funções.

Passo 1

O enunciado pede para escrever a função F(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x+\sqrt{x}}} como uma composição de três funções.
Informações dadas: a expressão é \dfrac{1}{\sqrt{x+\sqrt{x}}}.
O que precisamos entregar: três funções f, g e h tais que
F(x)= (f\circ g\circ h)(x)=f\big(g(h(x))\big).

Passo 2

O que significa escrever como composição de três funções? Significa escolher funções h, depois g que recebe o resultado de h, e depois f que recebe o resultado de g, de modo que ao aplicar h, depois g e depois f em x obtemos F(x). Em notação:
h: x \mapsto \text{(algo)}, \qquad g: u \mapsto \text{(algo com }u\text{)}, \qquad f: v \mapsto \text{(algo com }v\text{)},
e
f\big(g(h(x))\big)=F(x).
Aqui eu uso letras diferentes ( u,v) para mostrar claramente os papéis das saídas intermediárias.

Passo 3

Estratégia para escolher as funções: observe a estrutura em camadas da fórmula \dfrac{1}{\sqrt{x+\sqrt{x}}}. Há um \sqrt{x} “dentro” de x+\sqrt{x}, e sobre isso está uma raiz quadrada e depois o inverso. Uma ideia natural é:
  • tomar h(x)=\sqrt{x} para isolar a raiz interna;
  • expressar x+\sqrt{x} em termos de u=h(x). Se u=\sqrt{x}, então u^2=x, logo x+\sqrt{x}=u^2+u. Assim escolher g(u)=u^2+u;
  • finalmente, sobre esse resultado (que chamamos de v) aplicamos f(v)=\dfrac{1}{\sqrt{v}}.

Passo 4

Definindo explicitamente as funções (cada variável explicada):
h(x)=\sqrt{x},\quad u=h(x)
g(u)=u^2+u,\quad v=g(u)
f(v)=\dfrac{1}{\sqrt{v}}.

Passo 5

Verificação passo a passo (substituindo):
Primeiro calcule g(h(x)). Como h(x)=\sqrt{x} temos
g(h(x)) = \big(h(x)\big)^2 + h(x) = (\sqrt{x})^2 + \sqrt{x} = x + \sqrt{x}.
Agora aplique f a esse resultado:
f\big(g(h(x))\big) = f\big(x+\sqrt{x}\big) = \dfrac{1}{\sqrt{x+\sqrt{x}}}.
Portanto
f\big(g(h(x))\big)=F(x),
ou seja, a decomposição funciona. Observação sobre domínio: para que tudo faça sentido precisamos de x\ge 0 e x+\sqrt{x}>0; na prática isso exige x>0 (em x=0 a expressão original é \dfrac{1}{0}, indefinida).

Passo 6

Resumo final das escolhas (essas três funções compõem-se para dar F; se quiser testar numericamente, por exemplo para x=4, h(4)=2, g(2)=2^2+2=6, f(6)=1/\sqrt{6}, que é exatamente F(4)).

Resposta

f(v)=\dfrac{1}{\sqrt{v}}
g(u)=u^{2}+u
h(x)=\sqrt{x}

Exercícios relacionados