O que é uma função par? Como saber, a partir do gráfico, se uma função é par ou não? Dê três exemplos de uma função par.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  1. Definir o que é uma função par.
  2. Explicar como, a partir do gráfico, identificar se uma função é par ou não.
  3. Dar três exemplos de funções pares.
Informações fornecidas: só as perguntas acima. Não há gráfico anexado nem outros dados numéricos. Vou responder cada item passo a passo e ensinar como raciocinar na prova.

Passo 2

Definição formal (a ferramenta principal que você sempre deve usar):
\text{Uma função } f \text{ é dita par se, para todo } x \text{ no domínio de } f,\; f(-x)=f(x).çãéí
Explicando devagar: aqui x representa qualquer número onde f está definida. A igualdade f(-x)=f(x) significa que o valor da função em -x é exatamente o mesmo que em x. Importante: isto só faz sentido se o domínio for simétrico em relação a 0 — ou seja, se x pertence ao domínio então -x também deve pertencer ao domínio.

Passo 3

Teste algébrico prático (o que você deve fazer rápido na prova quando tem a expressão):
  1. Pegue a expressão de f(x).
  2. Substitua x por -x e calcule f(-x).
  3. Compare f(-x) com f(x).
  • Se f(-x)=f(x) para todos os x do domínio, a função é par.
  • Se f(-x)=-f(x) para todos os x, a função é ímpar (só para comparação).
  • Se nenhuma das duas igualdades vale para todos os x, ela é nem par nem ímpar.
Exemplos rápidos de verificação algébrica:
\text{Se } f(x)=x^2 \Rightarrow f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x),
logo f é par.
\text{Se } f(x)=|x| \Rightarrow f(-x)=|-x|=|x|=f(x),
logo f é par.
\text{Se } f(x)=\cos x \Rightarrow f(-x)=\cos(-x)=\cos x=f(x),
usamos a identidade trigonométrica \cos(-x)=\cos x, então \cos x é par.

Passo 4

Como identificar graficamente (a forma que o enunciado também pergunta):
  • Uma função é par se o gráfico for simétrico em relação ao eixo y (ou seja, se você refletir o desenho pela reta x=0, o gráfico coincide consigo mesmo).
  • Procedimento prático no gráfico: escolha um ponto (a,b) que esteja no gráfico. Verifique se o ponto (-a,b) também pertence ao gráfico. Faça isso para vários valores de a. Se sempre ocorrer, a função é par.
  • Dicas visuais: parabola com vértice no eixo y (como y=x^2), o gráfico em “V” centrado no eixo y (como y=|x|), e os picos e vales de \cos x são espelhados no eixo y.

Passo 5

Cuidados e observações que podem cair na prova (coisas que costumam confundir):
  • Antes de aplicar f(-x)=f(x) verifique o domínio: por exemplo, f(x)=\sqrt{x} não pode ser par porque seu domínio é [0,\infty), que não é simétrico; \sqrt{-1} não existe (no conjunto dos reais).
  • Funções constantes f(x)=c (com c fixo) são par, pois f(-x)=c=f(x).
  • Uma função pode ser nem par nem ímpar; não pressuponha que toda função pertence a uma das duas categorias.
  • Se precisar decidir rapidamente no exame e você tem só o gráfico: faça a reflexão em relação ao eixo y. Se a imagem refletida coincidir exatamente com a original, ela é par.

Passo 6

Exemplos escolhidos (com justificativa curta para cada um):
  1. \;f(x)=x^2. Justificativa: \;f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x). O gráfico é uma parábola simétrica ao eixo y.
  2. \;f(x)=|x|. Justificativa: \;f(-x)=|-x|=|x|=f(x). O gráfico é um “V” centrado no eixo y.
  3. \;f(x)=\cos x (com domínio \mathbb{R}). Justificativa: \;f(-x)=\cos(-x)=\cos x=f(x). O gráfico da cosseno é simétrico em relação ao eixo y.

Resposta

Uma função é par se, para todo x no domínio, \;f(-x)=f(x).\nA partir do gráfico, verifica-se se o gráfico é simétrico em relação ao eixo y: se a reflexão em x=0 deixa o gráfico igual, a função é par.\n f(x)=x^2,\; f(x)=|x|,\; f(x)=\cos x.

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