Dê um exemplo de cada tipo de função.
Função potência

Passo 1

O que o enunciado pede: você quer exemplos de “função potência”. Ou seja, dar exemplos que representem os vários tipos de funções do tipo potência. Informação dada: apenas o nome do tipo — “função potência”. Vou listar e explicar vários casos importantes (expoente inteiro, par/ímpar, racional com denominador par/ímpar, expoente negativo, expoente irracional), com exemplos concretos e comentários sobre domínio e comportamento, para você entender e reconhecer na prova.

Passo 2

Definição e forma geral — o que é uma função potência:
f(x)=k\,x^{\alpha}
onde k é uma constante (normalmente k\neq 0) e \alpha é um número real fixo (o expoente). Aqui:
  • x é a variável independente (o que varia),
  • k escala (esticamento/flip se negativo) o gráfico,
  • \alpha determina o tipo da potência (quadrática, cúbica, raiz, hiperbólica, etc.).
    Na prova, identifique “função potência” procurando exatamente essa forma: variável elevada a uma potência constante.

Passo 3

Caso: expoente inteiro positivo — par (ex.: quadrática)
Exemplo: f(x)=x^{2}.
  • Domínio: todos os reais, isto é \mathbb{R}.
  • Paridade: função par (porque f(-x)=(-x)^{2}=x^{2}=f(x)).
  • Comportamento simples: atinge mínimo em x=0, cresce para \pm\infty.
    Exemplo de cálculo rápido: f(2)=2^{2}=4 e f(-2)=(-2)^{2}=4 (mostra paridade).

Passo 4

Caso: expoente inteiro positivo — ímpar (ex.: cúbica)
Exemplo: f(x)=x^{3}.
  • Domínio: \mathbb{R}.
  • Paridade: função ímpar (porque f(-x)=(-x)^{3}=-x^{3}=-f(x)).
  • Comportamento: atravessa origem, monotonicamente crescente em todo \mathbb{R}.
    Exemplo: f(2)=8, f(-2)=-8.

Passo 5

Caso: expoente igual a 1 ou 0
  • Linear (expoente 1): f(x)=x. Domínio \mathbb{R}, função ímpar e crescente.
  • Constante (expoente 0): f(x)=x^{0}=1 (quando k=1). Domínio \mathbb{R}\setminus\{0\} tecnicamente para a forma x^0 estamos acostumados a definir x^0=1 para x\neq0; em contextos de funções costuma-se adotar f(x)\equiv1 para todo x (ver detalhes na prova).

Passo 6

Caso: expoente racional com denominador par (raízes de índice par)
Exemplo: f(x)=x^{1/2}=\sqrt{x}.
  • Domínio: [0,\infty) — não podemos ter raiz par de número negativo se queremos valores reais.
  • Paridade: não é par nem ímpar em geral.
    Exemplo: f(4)=2, f(0)=0. Se um expoente for \alpha=\tfrac{p}{q} em forma reduzida e q for par, exige-se x\ge 0.

Passo 7

Caso: expoente racional com denominador ímpar (raízes ímpares)
Exemplo: f(x)=x^{1/3}=\sqrt[3]{x}.
  • Domínio: \mathbb{R} — raiz cúbica de número negativo é negativa (valor real).
  • Paridade: função ímpar ( \sqrt[3]{-x}=-\sqrt[3]{x}).
    Exemplo: f(-8)=-2.

Passo 8

Caso: expoente negativo (potências recíprocas)
Exemplo: f(x)=x^{-1}=\dfrac{1}{x}.
  • Domínio: \mathbb{R}\setminus\{0\} (não podemos dividir por zero).
  • Comportamento: tem assíntota vertical em x=0; para x\to\infty tende a 0.
    Outro exemplo: f(x)=2x^{-2}=\dfrac{2}{x^{2}} (sempre positivo, assimétrico em relação ao sinal de x).

Passo 9

Caso: expoente real irracional
Exemplo: f(x)=x^{\pi}.
  • Para \alpha irracional, para obter valores reais usamos base x>0. Assim o domínio típico é (0,\infty).
  • Regra prática: se \alpha não é racional com denominador ímpar, exija x>0 para manter a função real.
    Exemplo numérico (aproximação): f(2)=2^{\pi}\approx 8,82 (apenas para intuição).

Passo 10

Resumo prático (o que decorar para a prova)
  • Identificar: se a função tem a forma k\,x^{\alpha} com \alpha constante, é função potência.
  • Domínio:
    • \alpha inteiro: domínio \mathbb{R} (exceto se \alpha negativo, aí exclui 0).
    • \alpha=\tfrac{p}{q} com q par: exigir x\ge0.
    • \alpha irracional ou racional com q par: normalmente exigir x>0.
    • \alpha negativo: excluir x=0.
  • Não confundir com função exponencial (ex.: 2^{x} é exponencial, não potência).
  • Exemplos rápidos para lembrar: x^{2},\,x^{3},\,\sqrt{x}=x^{1/2},\,\sqrt[3]{x}=x^{1/3},\,1/x=x^{-1},\,x^{\pi}.

Resposta

f(x)=x^{2} (quadrática, expoente inteiro par)\n f(x)=x^{3} (cúbica, expoente inteiro ímpar)\n f(x)=x (linear, expoente 1)\n f(x)=1 (constante, expoente 0)\n f(x)=\sqrt{x}=x^{1/2} (raiz de índice par, domínio [0,\infty))\n f(x)=\sqrt[3]{x}=x^{1/3} (raiz de índice ímpar, domínio \mathbb{R})\n f(x)=x^{-1}=1/x (expoente negativo, domínio \mathbb{R}\setminus\{0\})\n f(x)=x^{\pi} (expoente irracional, domínio (0,\infty))

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