(i) f: R^2 R^2 definida por F(x, y)=(x+y, x-y);
(ii) g: R^2 R definida por g(x, y)=xy;
(iii) h: M2(R) R definida por
h([ll a & b c & d ])=det[ll a & b c & d ]=ad-bc
(iv) f: R R definida por f(x)=|x|;
(v) F: R^3 R^3 definida por F(x, y, z)=(2x-y, 0,0);
(vi) F: R^3 R^3 definida por F(x, y, z)=(2x^2+3y, x, z).

Passo 1

O enunciado apresenta seis aplicações entre espaços vetoriais e pede para verificar quais delas são lineares. O conteúdo aqui é aplicações lineares, e vamos precisar usar a definição de linearidade (preservação de soma e multiplicação escalar).

Passo 2

Uma aplicação T entre espaços vetoriais é linear se, para todos os vetores u,v e todo escalar alpha, valem
1. T(u+v) = T(u) + T(v)
2. T(alpha,u) = alpha,T(u).

Passo 3

Analisando (i) f:R^2toR^2, f(x,y)=(x+y,x-y):
Para (x1,y1) e (x2,y2),
f((x1,y1)+(x2,y2)) = f(x1+x2,y1+y2) = l((x1+x2)+(y1+y2),,(x1+x2)-(y1+y2)r)
= (x1+y1,x1-y1)+(x2+y2,x2-y2) = f(x1,y1)+f(x2,y2),
e para escalar c,
f(c,(x,y)) = f(cx,cy) = (cx+cy,,cx-cy) = c,(x+y,x-y) = c,f(x,y)
Logo, (i) é linear.

Passo 4

Analisando (ii) g:R^2toR, g(x,y)=xy:
g((x1,y1)+(x2,y2)) = (x1+x2)(y1+y2) = x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2 neq x1y1 + x2y2 = g(x1,y1)+g(x2,y2)
em geral. Falha a aditividade, então não é linear.

Passo 5

Analisando (iii) h:M2(R)toR, h(A)=det(A):
Em geral det(A+B)neqdet(A)+det(B). Basta um contraexemplo simples. Logo, h não é linear.

Passo 6

Analisando (iv) f:RtoR, f(x)=|x|:
Para xneq0, f(-1cdot x)=|-x|=|x|neq -|x|=-f(x). Falha homogeneidade, então não é linear.

Passo 7

Analisando (v) F:R^3toR^3, F(x,y,z)=(2x-y,0,0):
É fácil ver que
F((x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)) = l(2(x1+x2)-(y1+y2),0,0r)
= (2x1-y1,0,0)+(2x2-y2,0,0) = F(x1,y1,z1)+F(x2,y2,z2),
e
F(c,(x,y,z)) = (2(cx)-(cy),0,0) = c,(2x-y,0,0) = c,F(x,y,z)
Logo, (v) é linear.

Passo 8

Analisando (vi) F:R^3toR^3, F(x,y,z)=(2x^2+3y,x,z):
O termo 2x^2 não preserva soma nem homogeneidade. Por exemplo,
F((1,0,0)+(1,0,0))=F(2,0,0)=(2cdot2^2+0,2,0)=(8,2,0),
F(1,0,0)+F(1,0,0)=(2cdot1^2+0,1,0)+(2cdot1^2+0,1,0)=(4,2,0)
Como (8,2,0)neq(4,2,0), não é linear.

Resposta

As aplicações lineares são apenas as de (i) e (v).

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