(i)
definida por
;
(ii)
definida por
;
(iii)
definida por
(iv)
definida por
;
(v)
definida por
;
(vi)
definida por
.
(ii)
(iii)
(v)
(vi)
Passo 1
O enunciado apresenta seis aplicações entre espaços vetoriais e pede para verificar quais delas são lineares. O conteúdo aqui é aplicações lineares, e vamos precisar usar a definição de linearidade (preservação de soma e multiplicação escalar).
Passo 2
Uma aplicação
entre espaços vetoriais é linear se, para todos os vetores
e todo escalar
, valem
.
.
.
Passo 3
Analisando (i)
:
Para e
,
Para
e para escalar
,
Logo, (i) é linear.
Passo 4
Analisando (ii)
:
em geral. Falha a aditividade, então não é linear.
Passo 5
Analisando (iii)
:
Em geral . Basta um contraexemplo simples. Logo,
não é linear.
Em geral
Passo 6
Analisando (iv)
:
Para ,
. Falha homogeneidade, então não é linear.
Para
Passo 7
Analisando (v)
:
É fácil ver que
É fácil ver que
e
Logo, (v) é linear.
Passo 8
Analisando (vi)
:
O termo não preserva soma nem homogeneidade. Por exemplo,
O termo
Como
, não é linear.
Resposta
As aplicações lineares são apenas as de (i) e (v).