Seja o triângulo de vétices A(-1,2,4), B(-4,-2,0) e C(3,2,1). Determinar o ângulo interno do vértice B

Passo 1

Temos um triângulo em R^3 com vértices A(-1,2,4), B(-4,-2,0) e C(3,2,1). Queremos o ângulo interno theta no vértice B. Para isso vamos usar vetores, produto escalar e norma de vetores, pois o cosseno do ângulo entre dois vetores vec u e vec v é dado por costheta=vec ucdotvec v|vec u|,|vec v|.

Passo 2

Calculamos os vetores que partem de B em direção a A e a C:
BA=A-B=(-1-(-4),,2-(-2),,4-0)=(3,4,4),
BC=C-B=(3-(-4),,2-(-2),,1-0)=(7,4,1)

Passo 3

Calculamos o produto escalar:
BAcdotBC =3cdot7+4cdot4+4cdot1 =21+16+4 =41

Passo 4

Calculamos as normas:
|BA|=raiz3^2+4^2+4^2=raiz41, |BC|=raiz7^2+4^2+1^2=raiz66

Passo 5

Aplicando a definição de cosseno do ângulo entre BA e BC:
costheta =BAcdotBC|BA||BC| =41raiz41,raiz66 =raiz41raiz66,
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theta=arccosl(raiz41raiz66r)

Resposta

theta=arccosl(raiz41raiz66r)approx38,0^circ

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