Escreva uma equação do cone gerado pela rotação da reta r em torno da reta s, onde
r: lll x=2+t & & x=l+2 t y=-4+5 t & s: & y=2-t z=3+t & & z=3+t

Passo 1

O enunciado pede a equação do cone gerado pela rotação da reta
r:;(x,y,z)=(2,-4,3)+t,(1,5,1)
em torno da reta
s:;(x,y,z)=(1,2,3)+u,(2,-1,1)
O conteúdo aqui é geometria de superfícies de revolução: o cone gerado tem vértice no ponto de interseção de r e s, eixo na direção de s e ângulo entre a direção de r e a de s.

Passo 2

Identificamos os vetores diretores e os pontos de cada reta:
d=(1,5,1), v=(2,-1,1),
e as retas passam por Q=(2,-4,3) e P=(1,2,3), respectivamente.

Passo 3

Para achar o vértice C do cone, resolvemos
2+t=1+2u, -4+5t=2-u, 3+t=3+u
Da terceira equação vem t=u. Substituindo nas outras obtemos t=1 e u=1. Logo
C=(2+1,,-4+5cdot1,;3+1)=(3,1,4)

Passo 4

O ângulo alpha entre as direções d e v satisfaz
cos^2alpha =(dcdot v)^2|d|^2,|v|^2,
com
dcdot v=1cdot2+5cdot(-1)+1cdot1=-2, |d|^2=1+25+1=27, |v|^2=4+1+1=6
Logo
cos^2alpha=(-2)^227cdot6=4162=281

Passo 5

A equação cartesiana do cone de vértice C, eixo direção v e semi\mbox{-}\ângulo alpha é
l(v cdot (X - C)r)^2 = |v|^2 , |X - C|^2 cos^2 alpha

Passo 6

Substituindo |v|^2=6, cos^2alpha=tfrac281, C=(3,1,4) e v=(2,-1,1), escrevemos X=(x,y,z) e temos
vcdot(X-C)=2(x-3)-(y-1)+(z-4)=2x-y+z-9,
|X-C|^2=(x-3)^2+(y-1)^2+(z-4)^2
A equação fica então
(2x-y+z-9)^2=6,(x-3)^2+6,(y-1)^2+6,(z-4)^2;times;281,
que simplifica multiplicando ambos os lados por 81:
81(2x-y+z-9)^2=12l[(x-3)^2+(y-1)^2+(z-4)^2r]
Podemos ainda dividir por 3:
27(2x-y+z-9)^2 =4l[(x-3)^2+(y-1)^2+(z-4)^2r]

Resposta

27,(2x - y + z - 9)^2 =4l((x-3)^2+(y-1)^2+(z-4)^2r)

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