Como é definido o número e ?

Passo 1

O que o enunciado pergunta: “Como é definido o número e?”
Informações dadas: nenhuma além da pergunta em si.
O objetivo aqui é apresentar definições precisas e equivalentes de e, explicar por que fazem sentido e mostrar como obter uma aproximação numérica prática.

Passo 2

Uma definição muito usada (definição por série) é tomar e como a soma da série infinita
e=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}.
Vou explicar o que isso significa e por que essa soma converge. Primeiro, k! (fatorial) é o produto k!=1\cdot2\cdot3\cdots k para k\ge1 e 0!=1. A série acima é a soma dos termos \dfrac{1}{k!} para k=0,1,2,\dots.
Para ver que a série converge use a razão entre termos consecutivos:
\frac{1/(k+1)!}{1/k!}=\frac{1}{k+1}.
Como \dfrac{1}{k+1}\to0 quando k\to\infty, a série passa no teste da razão (o quociente dos termos tende a algo menor que 1), logo converge. Portanto faz sentido somar todos os termos e definir e como essa soma.

Passo 3

Uma definição alternativa (definição por limite) muito conhecida é
e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n.
Vou mostrar por que esse limite existe e é igual à série do Passo 2.
Primeiro, note que para cada n vale a expansão binomial finita
\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\frac{1}{n^k}.
Escrever o coeficiente binomial em forma conveniente:
\binom{n}{k}\frac{1}{n^k}=\frac{1}{k!}\cdot\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k}.
Para cada k fixo, quando n\to\infty o fator
\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k}\to 1,
porque cada multiplicando tem a forma \dfrac{n-j}{n}=1-\dfrac{j}{n}\to1. Assim, para k fixo,
\lim_{n\to\infty}\binom{n}{k}\frac{1}{n^k}=\frac{1}{k!}.
Agora fazemos uma comparação para passar do somatório finito ao infinito. Para todo n vale a desigualdade termo a termo
\binom{n}{k}\frac{1}{n^k}\le\frac{1}{k!}\qquad\text{para }0\le k\le n,
porque \dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k}\le 1. Assim, para todo n,
\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\frac{1}{n^k}\le\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\le\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}.
Por outro lado, fixando um m e tomando n\ge m,
\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\ge\sum_{k=0}^{m}\binom{n}{k}\frac{1}{n^k}.
Fazendo n\to\infty o lado direito tende a \sum_{k=0}^{m}\dfrac{1}{k!}. Como isso vale para todo m, obtemos
\liminf_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\ge\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}.
Combinando as desigualdades (limsup \le série e liminf \ge série) concluímos
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!},
ou seja, as duas definições são equivalentes.

Passo 4

Outra definição conceitual: e é o número real positivo tal que a função logaritmo natural \ln(x) satisfaz \ln e=1. Mais formalmente, se definirmos o logaritmo natural por
\ln x=\int_{1}^{x}\frac{1}{t}\,dt,
então e é o único número >0 com
\int_{1}^{e}\frac{1}{t}\,dt=1.
Essa definição é equivalente às anteriores quando se constrói a função exponencial como inversa do logaritmo ou como série \exp(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{x^k}{k!} e toma e=\exp(1).

Passo 5

Propriedade diferencial característica (útil na prova e em aplicações): se definir \exp(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{x^k}{k!}, então a série pode ser derivada termo a termo e obtém-se \dfrac{d}{dx}\exp(x)=\exp(x). Portanto a função exponencial é a única função (com certas regularidades) cuja derivada é ela própria e que vale 1 em x=0. O número e aparece como \exp(1). Essa caracterização liga e às equações diferenciais e explica por que e é tão natural em crescimento contínuo.

Passo 6

Como calcular uma aproximação na prática: (a) usando a série parcial,
e\approx\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}.
Por exemplo, com n=6,
\sum_{k=0}^{6}\frac{1}{k!}=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\frac{1}{120}+\frac{1}{720}=2{,}718055\dots
Já com n=9 obtém-se uma aproximação com erro menor que 10^{-6}. (b) usando o limite, tomar n grande em \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n também aproxima e, embora a convergência seja mais lenta que a da série em termos do esforço computacional.

Passo 7

Resumo das formas mais usadas e suas interpretações intuitivas:
  • Série: e=\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{1}{k!} (muito prática para aproximações).
  • Limite (juros compostos, interpretação financeira): e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n. Isso aparece ao pensar em juros compostos com frequência de capitalização que cresce sem limite.
  • Logaritmo/integral: e é o número tal que \int_{1}^{e}\dfrac{1}{t}\,dt=1, ligação com área sob 1/t.
  • Exponencial: e=\exp(1) onde \exp(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{x^k}{k!} é a função que se iguala à sua derivada.

Resposta

e=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}
e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n
e\approx 2{,}718281828

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