Como é definido o número
?
Passo 1
O que o enunciado pergunta: “Como é definido o número
?”
Informações dadas: nenhuma além da pergunta em si.
O objetivo aqui é apresentar definições precisas e equivalentes de , explicar por que fazem sentido e mostrar como obter uma aproximação numérica prática.
Informações dadas: nenhuma além da pergunta em si.
O objetivo aqui é apresentar definições precisas e equivalentes de
Passo 2
Uma definição muito usada (definição por série) é tomar
como a soma da série infinita
Vou explicar o que isso significa e por que essa soma converge. Primeiro,
(fatorial) é o produto
para
e
. A série acima é a soma dos termos
para
.
Para ver que a série converge use a razão entre termos consecutivos:
Como
quando
, a série passa no teste da razão (o quociente dos termos tende a algo menor que 1), logo converge. Portanto faz sentido somar todos os termos e definir
como essa soma.
Passo 3
Uma definição alternativa (definição por limite) muito conhecida é
Vou mostrar por que esse limite existe e é igual à série do Passo 2.
Primeiro, note que para cada
vale a expansão binomial finita
Escrever o coeficiente binomial em forma conveniente:
Para cada
fixo, quando
o fator
porque cada multiplicando tem a forma
. Assim, para
fixo,
Agora fazemos uma comparação para passar do somatório finito ao infinito. Para todo
vale a desigualdade termo a termo
porque
. Assim, para todo
,
Por outro lado, fixando um
e tomando
,
Fazendo
o lado direito tende a
. Como isso vale para todo
, obtemos
Combinando as desigualdades (limsup
série e liminf
série) concluímos
ou seja, as duas definições são equivalentes.
Passo 4
Outra definição conceitual:
é o número real positivo tal que a função logaritmo natural
satisfaz
. Mais formalmente, se definirmos o logaritmo natural por
então
é o único número
com
Essa definição é equivalente às anteriores quando se constrói a função exponencial como inversa do logaritmo ou como série
e toma
.
Passo 5
Propriedade diferencial característica (útil na prova e em aplicações): se definir
, então a série pode ser derivada termo a termo e obtém-se
. Portanto a função exponencial é a única função (com certas regularidades) cuja derivada é ela própria e que vale
em
. O número
aparece como
. Essa caracterização liga
às equações diferenciais e explica por que
é tão natural em crescimento contínuo.
Passo 6
Como calcular uma aproximação na prática: (a) usando a série parcial,
Por exemplo, com
,
Já com
obtém-se uma aproximação com erro menor que
. (b) usando o limite, tomar
grande em
também aproxima
, embora a convergência seja mais lenta que a da série em termos do esforço computacional.
Passo 7
Resumo das formas mais usadas e suas interpretações intuitivas:
- Série:
(muito prática para aproximações). - Limite (juros compostos, interpretação financeira):
. Isso aparece ao pensar em juros compostos com frequência de capitalização que cresce sem limite. - Logaritmo/integral:
é o número tal que , ligação com área sob . - Exponencial:
onde é a função que se iguala à sua derivada.