O deslocamento (em metros) de um objeto movendo-se ao longo de uma reta é dado por s=1+2 t+\frac{1}{4} t^{2}, onde t é medido em segundos. Encontre a velocidade média nos seguintes períodos.
1,1,1

Passo 1

O enunciado dá a função deslocamento em função do tempo:
s(t)=1+2t+\frac{1}{4}t^{2},
onde t está em segundos e s em metros. Pede para encontrar a velocidade média “nos seguintes períodos” indicados como [1,1,1].
Observação importante: a notação [1,1,1] está ambígua — não especifica claramente quais intervalos de tempo são esses (por exemplo, não diz se são os intervalos [0,1],[1,2],[2,3] ou outro conjunto). Para avançar sem pedir esclarecimento, vou adotar uma interpretação natural e comum em exercícios parecidos: calcular a velocidade média em três intervalos consecutivos de comprimento 1 segundo, isto é,
[0,1],\qquad [1,2],\qquad [2,3].
Se a sua intenção era outra, me avise depois; por enquanto sigo com essa escolha e explico passo a passo como fazer.

Passo 2

Definição e fórmula que vamos usar (aulas rápidas): a velocidade média em um intervalo de tempo [a,b] é dada por
\bar{v}=\frac{s(b)-s(a)}{b-a}.
Isto significa: “variação do deslocamento dividido pelo tempo decorrido”. Aqui s(a) e s(b) são os deslocamentos nos instantes t=a e t=b. Essa é a forma básica e direta que cai na prova.

Passo 3

Calcular s(t) nos pontos que vão aparecer ( t=0,1,2,3). Substituindo na fórmula s(t)=1+2t+\dfrac{1}{4}t^{2}:
  • Para t=0:
s(0)=1+2\cdot 0+\frac{1}{4}\cdot 0^{2}=1.
  • Para t=1:
s(1)=1+2\cdot 1+\frac{1}{4}\cdot 1^{2}=1+2+\frac{1}{4}=\frac{13}{4}=3,25.
  • Para t=2:
s(2)=1+2\cdot 2+\frac{1}{4}\cdot 2^{2}=1+4+\frac{1}{4}\cdot 4=1+4+1=6.
  • Para t=3:
s(3)=1+2\cdot 3+\frac{1}{4}\cdot 3^{2}=1+6+\frac{9}{4}=7+\frac{9}{4}=\frac{37}{4}=9,25.
(Expliquei cada substituição para que você possa repetir sem erro na prova.)

Passo 4

Velocidade média no intervalo [0,1]. Aplicando a fórmula
\bar{v}_{[0,1]}=\frac{s(1)-s(0)}{1-0}=\frac{\tfrac{13}{4}-1}{1}=\frac{\tfrac{13}{4}-\tfrac{4}{4}}{1}=\frac{9}{4}=2,25\\ \text{m/s}.
Comentário: calculei com frações para evitar arredondamento, depois passei para decimal 2,25.

Passo 5

Velocidade média no intervalo [1,2]. Aplicando a fórmula
\bar{v}_{[1,2]}=\frac{s(2)-s(1)}{2-1}=s(2)-s(1)=6-\frac{13}{4}=\frac{24}{4}-\frac{13}{4}=\frac{11}{4}=2,75\\ \text{m/s}.

Passo 6

Velocidade média no intervalo [2,3]. Aplicando a fórmula
\bar{v}_{[2,3]}=\frac{s(3)-s(2)}{3-2}=s(3)-s(2)=\frac{37}{4}-6=\frac{37}{4}-\frac{24}{4}=\frac{13}{4}=3,25\\ \text{m/s}.

Passo 7

Interpretação rápida e conexão com derivada (para motivar): a função velocidade instantânea é a derivada v(t)=s'(t). Derivando s(t):
v(t)=\frac{d}{dt}\!\left(1+2t+\frac{1}{4}t^{2}\right)=2+\frac{1}{2}t.
Isso mostra que a velocidade cresce com t (é linear), por isso as velocidades médias em intervalos sucessivos de comprimento 1 também aumentam: 2,25, 2,75, 3,25. Na prova, saber essa relação ajuda a conferir se os resultados fazem sentido.

Resposta

\bar{v}_{[0,1]}=\dfrac{9}{4}=2,25\\ \text{m/s}
\bar{v}_{[1,2]}=\dfrac{11}{4}=2,75\\ \text{m/s}
\bar{v}_{[2,3]}=\dfrac{13}{4}=3,25\\ \text{m/s}

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