O deslocamento (em metros) de um objeto movendo-se ao longo de uma reta é dado por s=1+2 t+\frac{1}{4} t^{2}, onde t é medido em segundos. Encontre a velocidade média nos seguintes períodos.
1,1,5

Passo 1

O enunciado dá a função deslocamento s(t) do objeto e pede a velocidade média em alguns períodos. As informações que temos são:
  • A função deslocamento é s(t)=1+2t+\dfrac{1}{4}t^{2}, com t em segundos e s em metros.
  • Vou calcular a velocidade média nos períodos [1,\,1{,}5], [1,\,1{,}1] e [1,\,1{,}01]. (Esses são períodos padrão para ver como a velocidade média se aproxima da velocidade instantânea em t=1.)
As perguntas são:
  • Calcular a velocidade média em [1,\,1{,}5].
  • Calcular a velocidade média em [1,\,1{,}1].
  • Calcular a velocidade média em [1,\,1{,}01].

Passo 2

Relembrando o conceito: a velocidade média no intervalo [a,b] é a variação do deslocamento dividida pelo tempo decorrido. Ou seja,
\bar{v}_{[a,b]}=\frac{s(b)-s(a)}{b-a}.
Explico cada termo:
  • s(a) é o deslocamento no tempo inicial a.
  • s(b) é o deslocamento no tempo final b.
  • b-a é o tempo decorrido.
    A ideia é calcular s nesses instantes e aplicar a fórmula.

Passo 3

Calcular s(1) porque será usado em todos os intervalos:
s(1)=1+2\cdot 1+\frac{1}{4}\cdot 1^{2}=1+2+\frac{1}{4}=3+\frac{1}{4}=3{,}25.

Passo 4

Velocidade média no intervalo [1,\,1{,}5].
Primeiro calcular s(1{,}5):
1{,}5^{2}=2{,}25,\qquad \frac{1}{4}\cdot 2{,}25=0{,}5625.
s(1{,}5)=1+2\cdot 1{,}5+0{,}5625=1+3+0{,}5625=4{,}5625.
Agora aplicar a fórmula:
\bar{v}_{[1,\,1{,}5]}=\frac{s(1{,}5)-s(1)}{1{,}5-1}=\frac{4{,}5625-3{,}25}{0{,}5}=\frac{1{,}3125}{0{,}5}=2{,}625.
Portanto a velocidade média em [1,1{,}5] é 2{,}625\\ \text{m/s}.

Passo 5

Velocidade média no intervalo [1,\,1{,}1].
Calcular s(1{,}1):
1{,}1^{2}=1{,}21,\qquad \frac{1}{4}\cdot 1{,}21=0{,}3025.
s(1{,}1)=1+2\cdot 1{,}1+0{,}3025=1+2{,}2+0{,}3025=3{,}5025.
Aplicando a fórmula:
\bar{v}_{[1,\,1{,}1]}=\frac{s(1{,}1)-s(1)}{1{,}1-1}=\frac{3{,}5025-3{,}25}{0{,}1}=\frac{0{,}2525}{0{,}1}=2{,}525.
Logo a velocidade média em [1,1{,}1] é 2{,}525\\ \text{m/s}.

Passo 6

Velocidade média no intervalo [1,\,1{,}01].
Calcular s(1{,}01):
1{,}01^{2}=1{,}0201,\qquad \frac{1}{4}\cdot 1{,}0201=0{,}255025.
s(1{,}01)=1+2\cdot 1{,}01+0{,}255025=1+2{,}02+0{,}255025=3{,}275025.
Aplicando a fórmula:
\bar{v}_{[1,\,1{,}01]}=\frac{s(1{,}01)-s(1)}{1{,}01-1}=\frac{3{,}275025-3{,}25}{0{,}01}=\frac{0{,}025025}{0{,}01}=2{,}5025.
Portanto a velocidade média em [1,1{,}01] é 2{,}5025\\ \text{m/s}.

Passo 7

Interpretação — velocidade instantânea e derivada (aula rápida e prática).
A velocidade instantânea v(t) é o limite das velocidades médias quando o intervalo encolhe para um ponto. Para funções polinomiais isso é dado pela derivada v(t)=s'(t). Vamos derivar:
s(t)=1+2t+\frac{1}{4}t^{2}\quad\Rightarrow\quad s'(t)=0+2+\frac{1}{4}\cdot 2t=2+\frac{1}{2}t.
Aqui s'(t) significa a taxa de variação instantânea do deslocamento em relação ao tempo; a derivada de 2t é 2 e a derivada de \frac{1}{4}t^{2} é \frac{1}{2}t.
Avaliar em t=1:
v(1)=s'(1)=2+\frac{1}{2}\cdot 1=2+\frac{1}{2}=2{,}5\\ \text{m/s}.
Observe que as velocidades médias calculadas nos passos anteriores ( 2{,}625, 2{,}525, 2{,}5025) se aproximam de 2{,}5 conforme o intervalo encolhe, como esperado.

Resposta

\bar{v}_{[1,\,1{,}5]}=2{,}625\\ \text{m/s}
\bar{v}_{[1,\,1{,}1]}=2{,}525\\ \text{m/s}
\bar{v}_{[1,\,1{,}01]}=2{,}5025\\ \text{m/s}

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