O deslocamento (em metros) de um objeto movendo-se ao longo de uma reta é dado por
, onde
é medido em segundos. Encontre a velocidade média nos seguintes períodos.
Passo 1
O enunciado dá a função deslocamento
do objeto e pede a velocidade média em alguns períodos. As informações que temos são:
- A função deslocamento é
, com em segundos e em metros. - Vou calcular a velocidade média nos períodos
, e . (Esses são períodos padrão para ver como a velocidade média se aproxima da velocidade instantânea em .)
As perguntas são:
- Calcular a velocidade média em
. - Calcular a velocidade média em
. - Calcular a velocidade média em
.
Passo 2
Relembrando o conceito: a velocidade média no intervalo
é a variação do deslocamento dividida pelo tempo decorrido. Ou seja,
Explico cada termo:
-
é o deslocamento no tempo inicial . -
é o deslocamento no tempo final . -
é o tempo decorrido.
A ideia é calcularnesses instantes e aplicar a fórmula.
Passo 3
Calcular
porque será usado em todos os intervalos:
Passo 4
Velocidade média no intervalo
.
Primeiro calcular
:
Agora aplicar a fórmula:
Portanto a velocidade média em
é
.
Passo 5
Velocidade média no intervalo
.
Calcular
:
Aplicando a fórmula:
Logo a velocidade média em
é
.
Passo 6
Velocidade média no intervalo
.
Calcular
:
Aplicando a fórmula:
Portanto a velocidade média em
é
.
Passo 7
Interpretação — velocidade instantânea e derivada (aula rápida e prática).
A velocidade instantânea
é o limite das velocidades médias quando o intervalo encolhe para um ponto. Para funções polinomiais isso é dado pela derivada
. Vamos derivar:
Aqui
significa a taxa de variação instantânea do deslocamento em relação ao tempo; a derivada de
é
e a derivada de
é
.
Avaliar em
:
Observe que as velocidades médias calculadas nos passos anteriores (
,
,
) se aproximam de
conforme o intervalo encolhe, como esperado.