Mostre que os conjuntos abaixo não são subespaços vetoriais
W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x=z^{2}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
W = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x = z^2\}
não é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3. Para isso, lembramos que um subconjunto precisa satisfazer três propriedades:
  1. Conter o vetor zero.
  2. Ser fechado sob soma.
  3. Ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0,0) pertence a W. Como para (0,0,0) temos
x=0,\quad z=0,\quad z^2=0,
então x = z^2 se mantém e (0,0,0)\in W.

Passo 3

Agora testamos o fechamento sob multiplicação por escalar. Seja
\mathbf{v} = (1,0,1)\in W
pois 1 = 1^2. Tome o escalar \alpha = -1. Então
\alpha\,\mathbf{v} = (-1,0,-1).
Para este vetor, x=-1 e z=-1, mas
z^2 = (-1)^2 = 1 \neq -1 = x,
logo \alpha\,\mathbf{v}\notin W. Falhou o fechamento sob escalar.

Resposta

W não é subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.

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