Seja V=\{(1, x, 2) ; x \in \mathbb{R}\} munido das operações:
\left(1, x_{1}, 2\right)+\left(1, x_{2}, 2\right)=\left(1, x_{1}+x_{2}, 2\right) ; \quad \forall\left(1, x_{1}, 2\right),\left(1, x_{2}, 2\right) \in V
\alpha \cdot(1, x, 2)=(1, \alpha x, 2) ; \quad \forall \alpha \in \mathbb{R}, \forall(1, x, 2) \in V
Mostre que V é um espaço vetorial sobre o corpo \mathbb{R} e obtenha o vetor nulo de V.

Passo 1

O enunciado define \displaystyle V = \{(1,x,2)\mid x\in\mathbb{R}\}
com as operações
(1,x_1,2)+(1,x_2,2) = (1,\,x_1+x_2,\,2),
\alpha\cdot(1,x,2) = (1,\,\alpha x,\,2).
Queremos mostrar que V satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre \mathbb{R} e encontrar seu vetor nulo.

Passo 2

Fecho em adição e em multiplicação escalar:
  • Se (1,x_1,2),(1,x_2,2)\in V, então x_1+x_2\in\mathbb{R}, logo (1,x_1+x_2,2)\in V.
  • Se \alpha\in\mathbb{R} e (1,x,2)\in V, então \alpha x\in\mathbb{R}, logo (1,\alpha x,2)\in V.

Passo 3

Comutatividade e associatividade da adição:
  • Comutatividade:
(1,x_1,2)+(1,x_2,2) = (1,x_1+x_2,2) = (1,x_2+x_1,2) = (1,x_2,2)+(1,x_1,2).
  • Associatividade: para (1,x_1,2),(1,x_2,2),(1,x_3,2)\in V,
\bigl[(1,x_1,2)+(1,x_2,2)\bigr]+(1,x_3,2) = (1,x_1+x_2,2)+(1,x_3,2) = (1,x_1+x_2+x_3,2)
= (1,x_1,2)+(1,x_2+x_3,2) = (1,x_1,2)+\bigl[(1,x_2,2)+(1,x_3,2)\bigr].

Passo 4

Elemento neutro e inverso aditivo:
  • Procuramos e=(1,y,2) tal que, para todo (1,x,2)\in V,
(1,x,2)+(1,y,2) = (1,x+y,2) = (1,x,2).
Isso exige x+y = x para todo x, logo y=0. Assim o neutro é (1,0,2).
  • Para (1,x,2), o inverso aditivo (1,z,2) satisfaz
(1,x,2)+(1,z,2) = (1,x+z,2) = (1,0,2),
daí x+z=0, isto é, z=-x.

Passo 5

Axiomas de multiplicação escalar:
  • Distributividade escalar sobre soma de vetores:
\alpha\cdot\bigl[(1,x_1,2)+(1,x_2,2)\bigr] = \alpha\cdot(1,x_1+x_2,2) = (1,\alpha(x_1+x_2),2)
= (1,\alpha x_1+\alpha x_2,2) = (1,\alpha x_1,2)+(1,\alpha x_2,2) = \alpha\cdot(1,x_1,2) + \alpha\cdot(1,x_2,2).
  • Distributividade escalar sobre soma de escalares:
(\alpha+\beta)\cdot(1,x,2) = (1,(\alpha+\beta)x,2) = (1,\alpha x+\beta x,2)
= (1,\alpha x,2)+(1,\beta x,2) = \alpha\cdot(1,x,2)+\beta\cdot(1,x,2).
  • Compatibilidade de escalares:
(\alpha\beta)\cdot(1,x,2) = (1,(\alpha\beta)x,2) = \alpha\cdot(1,\beta x,2) = \alpha\cdot\bigl[\beta\cdot(1,x,2)\bigr].
  • Identidade escalar:
1\cdot(1,x,2) = (1,1\cdot x,2) = (1,x,2).

Passo 6

Como todas as propriedades (fecho, adição comutativa e associativa, neutro, inverso, e axiomas de multiplicação escalar) estão satisfeitas, concluímos que V é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

Resposta

O vetor nulo de V é (1,0,2).

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