Seja
munido das operações:
Mostre que
é um espaço vetorial sobre o corpo
e obtenha o vetor nulo de
.
Mostre que
Passo 1
O enunciado define
com as operações
com as operações
Queremos mostrar que
satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre
e encontrar seu vetor nulo.
Passo 2
Fecho em adição e em multiplicação escalar:
- Se
, então , logo . - Se
e , então , logo .
Passo 3
Comutatividade e associatividade da adição:
- Comutatividade:
- Associatividade: para
,
Passo 4
Elemento neutro e inverso aditivo:
- Procuramos
tal que, para todo ,
Isso exige
para todo
, logo
. Assim o neutro é
.
- Para
, o inverso aditivo satisfaz
daí
, isto é,
.
Passo 5
Axiomas de multiplicação escalar:
- Distributividade escalar sobre soma de vetores:
- Distributividade escalar sobre soma de escalares:
- Compatibilidade de escalares:
- Identidade escalar:
Passo 6
Como todas as propriedades (fecho, adição comutativa e associativa, neutro, inverso, e axiomas de multiplicação escalar) estão satisfeitas, concluímos que
é um espaço vetorial sobre
.
Resposta
O vetor nulo de
é
.