Estude a posição relativa entre:
os planos pi1: x-y-2=0 e pi2: 4 x-4 y+z-12=0;

Passo 1

O enunciado pede a posição relativa entre os planos
pi1:x - y - 2 = 0
e
pi2:4x - 4y + z - 12 = 0.
Para isso vamos extrair seus vetores normais, verificar se são paralelos e, caso não sejam, determinar a reta de interseção.

Passo 2

Os vetores normais são dados pelos coeficientes de (x,y,z) em cada equação. Assim,
n1 = (1,,-1,,0), n2 = (4,,-4,,1)

Passo 3

Verificamos se há lambda tal que n2 = lambda n1.
Comparando componentes em x e y teríamos lambda = 4, mas isso exigiria 1 = lambdacdot 0 na componente z, o que não ocorre.
Logo, n1 e n2 não são paralelos e os planos se intersectam numa reta.

Passo 4

Para achar a reta de interseção, resolvemos o sistema
x - y - 2 = 0, 4x - 4y + z - 12 = 0
Da primeira equação vem x - y = 2. Substituindo em 4x - 4y + z = 12 obtemos
4(x-y) + z = 12 Longrightarrow 4cdot 2 + z = 12 Longrightarrow z = 4

Passo 5

Como sobra uma variável livre, escolhemos y = t. Então
x = y + 2 = t + 2, z = 4
Assim a reta de interseção é
ell: (x,y,z) = (2 + t,; t,; 4), tinR

Resposta

Os planos não são paralelos e se intersectam segundo a reta
ell: x = 2 + t, y = t, z = 4, tinR

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