Definimos as funções trigonométricas hiperbólicas seno hiperbólico ( senh x ) e cosseno hiperbólico ( cosh x) por
senh x=e^x-e^-x2, cosh x=e^x+e^-x2
Definimos as demais funções hiperbólicas de maneira análoga às funções circulares, isto é,
tgh x=senh xcosh x, sech x=1cosh x
e etc.
Use as definições das funções hiperbólicas (isto é, (2) e etc.) e a letra (c) para calcular as derivadas de:
(i) tgh x
(ii) cotgh x
(iii) sech x
(iv) cossech x

Passo 1

O enunciado define as funções hiperbólicas
senhx=dfrace^x-e^-x2,
cosh x=dfrace^x+e^-x2,
tghx=dfracsenhxcosh x,
sechx=dfrac1cosh x e análogas ( cotghx=cosh x/senhx, cossechx=1/senhx, etc.).
Para derivar usamos as regras de derivação:
  1. dfracddxsenhx=cosh x e dfracddxcosh x=senhx.
  2. Regra do quociente: se f=u/v, então
f'=u',v-u,v'v^2
  1. Regra da cadeia: dfracddx(g(x))^-1=-g'(x),g(x)^-2.

Passo 2

Para tghx=dfracsenhxcosh x, use a regra do quociente com u=senhx, u'=cosh x, v=cosh x, v'=senhx:
ddxtghx =cosh xcdotcosh x-senhxcdotsenhxcosh^2x =cosh^2x-senh^2xcosh^2x =1cosh^2x =sech^2x

Passo 3

Para cotghx=dfraccosh xsenhx, aplique a regra do quociente com u=cosh x, u'=senhx, v=senhx, v'=cosh x:
ddxcotghx =senhxcdotsenhx-cosh xcdotcosh xsenh^2x =senh^2x-cosh^2xsenh^2x =-cosh^2x-senh^2xsenh^2x =-1senh^2x =-cossech^2x

Passo 4

Para sechx=(cosh x)^-1, use a regra da cadeia:
ddxsechx =-l(cosh xr)^-2cdotsenhx =-senhxcosh^2x =-senhxcosh x,1cosh x =-tghx,sechx

Passo 5

Para cossechx=(senhx)^-1, novamente pela regra da cadeia:
ddxcossechx =-l(senhxr)^-2cdotcosh x =-cosh xsenh^2x =-cosh xsenhx,1senhx =-cotghx,cossechx

Resposta

(i) dfracddxtghx=sech^2x
(ii) dfracddxcotghx=-cossech^2x
(iii) dfracddxsechx=-sechx,tghx
(iv) dfracddxcossechx=-cossechx,cotghx

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