Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados via anuladores.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
com condições iniciais
,
,
. O conteúdo é método dos coeficientes indeterminados (via anuladores) para encontrar a solução geral
, onde
vem da equação homogênea e
da particular.
Passo 2
Encontramos a solução homogênea resolvendo o polinômio característico de
Ele é
logo as raízes são
(multiplicidade 1) e
(multiplicidade 2). Assim
Passo 3
Para a parte particular, o lado direito é
.
– Para , usamos ansatz
– Para
pois
corresponde a raiz
de multiplicidade 2 e
é polinômio de grau 1, então multiplicamos por
e mantemos grau 1 em
.
– Para o termo constante , como
é raiz simples, tentamos
– Para o termo constante
Então
Passo 4
Calculamos
. Após derivar e agrupar, chega-se a
Como deve igualar a
, igualamos coeficientes:
Para
temos
, que deve igualar a
, logo
.
Passo 5
A solução geral é
Agora impomos as condições iniciais. Cálculos diretos dão o sistema
cuja solução é