Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados via anuladores.
ly^prime prime prime-2 y^prime prime+y^prime=x e^x+5 y(0)=y^prime(0)=2, y^prime prime(0)=-1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y^primeprimeprime-2y^primeprime+y^prime=x e^x+5,
com condições iniciais y(0)=2, y'(0)=2, y''(0)=-1. O conteúdo é método dos coeficientes indeterminados (via anuladores) para encontrar a solução geral y=yh+yp, onde yh vem da equação homogênea e yp da particular.

Passo 2

Encontramos a solução homogênea resolvendo o polinômio característico de
y^primeprimeprime-2y^primeprime+y^prime=0
Ele é
r^3-2r^2+r = r,(r^2-2r+1)=r,(r-1)^2,
logo as raízes são r=0 (multiplicidade 1) e r=1 (multiplicidade 2). Assim
yh = C1 + C2 e^x + C3 x e^x

Passo 3

Para a parte particular, o lado direito é x e^x + 5.
– Para x e^x, usamos ansatz
yp1 = e^xl(A x^3 + B x^2r),
pois e^x corresponde a raiz r=1 de multiplicidade 2 e x é polinômio de grau 1, então multiplicamos por x^2 e mantemos grau 1 em Q(x)=Ax+B.
– Para o termo constante 5, como r=0 é raiz simples, tentamos
yp2 = C,x
Então
yp = e^xl(A x^3 + B x^2r) + C x

Passo 4

Calculamos L[yp1]=yp1'''-2yp1''+yp1'. Após derivar e agrupar, chega-se a
L[yp1] = e^xl(6A x + (2B+6A)r)
Como deve igualar a x e^x, igualamos coeficientes:
6A=1, 2B+6A=0
implies A=tfrac16, B=-tfrac12
Para yp2=C x temos L[yp2]=C, que deve igualar a 5, logo C=5.

Passo 5

A solução geral é
y = C1 + C2 e^x + C3 x e^x + e^xl(tfrac16 x^3 -tfrac12 x^2r) + 5x
Agora impomos as condições iniciais. Cálculos diretos dão o sistema
C1 + C2 = 2, C2 + C3 = -3, C2 +2C3 = 0,
cuja solução é
C1=8, C2=-6, C3=3

Resposta

boxedy(x)=8 -6e^x +3x e^x +e^xl(tfrac16 x^3 -tfrac12 x^2r)+5x

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