Definimos a integral imprópria (sobre todo o plano
)
em que
denota o círculo de centro na origem e raio
.
Utilizando a mudança de variável
, demonstre que
Essa integral desempenha papel fundamental em Probabilidade, especificamente em distribuição normal.
Utilizando a mudança de variável
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
Estamos lidando com integrais impróprias da família gaussiana. Para isso, vamos precisar do resultado clássico
que obtém-se via integral dupla em coordenadas polares, e em seguida aplicar a mudança de variável
.
Passo 2
Calculemos
Então
Em coordenadas polares
temos
, de modo que
Fazendo
,
, obtém-se
Logo
Passo 3
Agora calculemos
Façamos a substituição
mantendo os limites
a
. Então