Definimos a integral imprópria (sobre todo o plano R^2 )
I & =integral duplaR^2 e^(x^2+y^2) d A & =integral-infty^infty integral-infty^infty e^-(x^2+y^2) d x d y & =lim a infty integral duplaCa e^-(x^2+y^2) d A,
em que Ca denota o círculo de centro na origem e raio a.
Utilizando a mudança de variável u=raiz2 x, demonstre que
integral-infty^+infty e^-x^22=raiz2 pi
Essa integral desempenha papel fundamental em Probabilidade, especificamente em distribuição normal.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
integral-infty^infty e^-x^2/2,dx = raiz2pi
Estamos lidando com integrais impróprias da família gaussiana. Para isso, vamos precisar do resultado clássico
integral-infty^infty e^-u^2,du = raizpi
que obtém-se via integral dupla em coordenadas polares, e em seguida aplicar a mudança de variável u = x/raiz2.

Passo 2

Calculemos
I = integral-infty^infty e^-u^2,du
Então
I^2 =l(integral-infty^infty e^-u^2,dur), l(integral-infty^infty e^-v^2,dvr) =integral duplaR^2 e^-(u^2+v^2),dA
Em coordenadas polares (u,v)=(rcostheta,rsintheta) temos dA=r,dr,dtheta, de modo que
I^2 =integral0^2pi!!integral0^infty e^-r^2,r,dr,dtheta =2piintegral0^infty r,e^-r^2,dr
Fazendo t=r^2, dt=2r,dr, obtém-se
integral0^infty r,e^-r^2,dr =12integral0^infty e^-t,dt =12
Logo
I^2=2picdot12=pi Longrightarrow I=raizpi

Passo 3

Agora calculemos
integral-infty^infty e^-x^2/2,dx
Façamos a substituição
u = xraiz2, x = raiz2,u, dx = raiz2,du,
mantendo os limites -infty a +infty. Então
integral-infty^infty e^-x^2/2,dx =integral-infty^infty e^-u^2;raiz2,du =raiz2integral-infty^infty e^-u^2,du =raiz2,raizpi =raiz2pi

Resposta

raiz2pi

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