Exemplo 5.1: Seja f(x, y)=x^2+y^2. Calcule, pelos dois processos, partial fpartial u(Xo) quando:
u=e1=(1,0) e X0=(2,3);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada direcional da função f(x, y) = x^2 + y^2 no ponto X0 = (2, 3) na direção do vetor u = e1 = (1, 0) . Para isso, vamos usar dois métodos diferentes. A derivada direcional mede como a função muda quando nos movemos na direção especificada.

Passo 2

Primeiro Método: Usando o Gradiente
O gradiente de uma função, denotado por nabla f , é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função. A derivada direcional na direção de u pode ser calculada fazendo o produto escalar entre o gradiente e o vetor u .
Primeiro, vamos calcular o gradiente de f :
nabla f(x, y) = ( partial fpartial x, partial fpartial y ) = (2x, 2y)
No ponto X0 = (2, 3) :
nabla f(2, 3) = (2 cdot 2, 2 cdot 3) = (4, 6)
Agora, fazemos o produto escalar com u = (1, 0) :
partial fpartial u(2, 3) = nabla f(2, 3) cdot u = (4, 6) cdot (1, 0) = 4 cdot 1 + 6 cdot 0 = 4

Passo 3

Segundo Método: Usando a Definição de Derivada Direcional
A derivada direcional é definida como o limite da taxa de variação da função na direção do vetor u . A fórmula é:
partial fpartial u(X0) = limh to 0 f(X0 + hu) - f(X0)h
Substituindo os valores:
X0 = (2, 3), u = (1, 0)
Calculamos X0 + hu = (2 + h, 3 + 0) = (2 + h, 3)
Agora, calculamos f(2 + h, 3) :
f(2 + h, 3) = (2 + h)^2 + 3^2 = 4 + 4h + h^2 + 9 = 13 + 4h + h^2
E f(2, 3) = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13
Agora, aplicamos na fórmula:
partial fpartial u(2, 3) = limh to 0 (13 + 4h + h^2) - 13h = limh to 0 4h + h^2h = limh to 0 (4 + h) = 4

Resposta

A derivada direcional de f no ponto (2, 3) na direção de u = (1, 0) é igual a 4.

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