Exemplo 5.1: Seja
. Calcule, pelos dois processos,
quando:
e
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Para isso, vamos usar dois métodos diferentes. A derivada direcional mede como a função muda quando nos movemos na direção especificada.
Passo 2
Primeiro Método: Usando o Gradiente
O gradiente de uma função, denotado por
, é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função. A derivada direcional na direção de
pode ser calculada fazendo o produto escalar entre o gradiente e o vetor
.
Primeiro, vamos calcular o gradiente de
:
No ponto
:
Agora, fazemos o produto escalar com
:
Passo 3
Segundo Método: Usando a Definição de Derivada Direcional
A derivada direcional é definida como o limite da taxa de variação da função na direção do vetor
. A fórmula é:
Substituindo os valores:
Calculamos
Agora, calculamos
:
E
Agora, aplicamos na fórmula:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção de
é igual a 4.