Determine a solução das equações diferenciais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais, especificamente das equações diferenciais separáveis. Vamos precisar separar as variáveis
e
para integrar e encontrar a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar
e
. Temos:
Podemos reescrever isso como:
Passo 3
Agora, precisamos integrar ambos os lados. Para facilitar a integração do lado esquerdo, vamos decompor a fração em frações parciais.
Multiplicando ambos os lados por
:
Vamos resolver para
e
:
Para
:
Para
:
Então, a decomposição fica:
Passo 4
Agora, substituímos de volta na integral:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Vamos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Onde
é uma nova constante de integração.
Passo 6
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde
é uma constante positiva.
Passo 7
Expandindo o lado esquerdo:
Rearranjando para formar uma equação quadrática em
:
Passo 8
Aplicando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária determinada pelas condições iniciais.