Determine a solução das equações diferenciais abaixo:
y^prime=(2-y) cdot(1-y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial y' = (2 - y) cdot (1 - y) . Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais, especificamente das equações diferenciais separáveis. Vamos precisar separar as variáveis y e x para integrar e encontrar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar y e x . Temos:
dydx = (2 - y)(1 - y)
Podemos reescrever isso como:
dy(2 - y)(1 - y) = dx

Passo 3

Agora, precisamos integrar ambos os lados. Para facilitar a integração do lado esquerdo, vamos decompor a fração em frações parciais.
1(2 - y)(1 - y) = A2 - y + B1 - y
Multiplicando ambos os lados por (2 - y)(1 - y):
1 = A(1 - y) + B(2 - y)
Vamos resolver para A e B :
Para y = 1 :
1 = A(0) + B(1) Rightarrow B = 1
Para y = 2 :
1 = A(-1) + B(0) Rightarrow A = -1
Então, a decomposição fica:
1(2 - y)(1 - y) = -12 - y + 11 - y

Passo 4

Agora, substituímos de volta na integral:
integral ( -12 - y + 11 - y ) dy = integral dx
Integrando ambos os lados:
- ln|2 - y| - ln|1 - y| = x + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Vamos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
- ln|2 - y| - ln|1 - y| = ln ( 1(2 - y)(1 - y) ) = x + C
Multiplicando ambos os lados por -1:
ln ( (2 - y)(1 - y) ) = -x + C'
Onde C' = -C é uma nova constante de integração.

Passo 6

Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
(2 - y)(1 - y) = e^-x + C' = Ke^-x
Onde K = e^C' é uma constante positiva.

Passo 7

Expandindo o lado esquerdo:
(2 - y)(1 - y) = 2 - 3y + y^2 = y^2 - 3y + 2 = Ke^-x
Rearranjando para formar uma equação quadrática em y :
y^2 - 3y + (2 - Ke^-x) = 0

Passo 8

Aplicando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática:
y = 3 pm raiz9 - 4(2 - Ke^-x)2 = 3 pm raiz1 + 4Ke^-x2

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = 3 pm raiz1 + 4Ke^-x2
Onde K é uma constante arbitrária determinada pelas condições iniciais.

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