Use a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a integral, ou explique por que ela não existe.
integral0^0,5 d xraiz1-x^2

Passo 1

O enunciado nos dá a integral
integral0^0,5 dxraiz1-x^2
e pede para avaliá-la usando a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo. Vamos verificar a existência, encontrar a primitiva e aplicar o teorema.

Passo 2

Considere f(x)=1/raiz1-x^2. O domínio de f é -1<= x<=1, logo f é contínua em [0,0,5]. Dessa forma, a integral existe e podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 3

Uma primitiva de f é
F(x)=arcsin(x)
De fato,
F'(x)=ddxarcsin(x)=1raiz1-x^2=f(x)

Passo 4

Pela Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo, temos
integral0^0,5f(x),dx = F(0,5) - F(0)

Passo 5

Calculando os valores:
F(0,5)-F(0) =arcsin(0,5)-arcsin(0) =pi6-0 =pi6

Resposta

pi6

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