Use a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a integral, ou explique por que ela não existe.
integral1^raiz3 61+x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral1^raiz3 61+x^2,dx
usando a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que se F é uma primitiva de f então
integrala^b f(x),dx = F(b)-F(a)
Aqui f(x)=6/(1+x^2), e precisamos encontrar uma primitiva F.

Passo 2

Verificamos que f(x)=6/(1+x^2) é contínua em [1,raiz3], pois o denominador nunca se anula. Logo a integral existe e podemos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 3

Sabemos que
ddxl(arctan(x)r) = 11+x^2
Multiplicando por 6, uma primitiva de f é
F(x) = 6,arctan(x)

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:
integral1^raiz3 61+x^2,dx = Fl(raiz3r) - F(1) = 6arctanl(raiz3r) - 6arctan(1)
Como arctan(raiz3)=pi/3 e arctan(1)=pi/4, temos
6cdotpi3 - 6cdotpi4 = 2pi - 3pi2 = pi2

Resposta

pi2

Exercícios relacionados