No espaço vetorial P3(R)=a0+a1 x+a2 x^2+a3 x^3: ai in R, i=0,1,2,3 - espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual do que 3 com coeficientes em R, consideremos f(x)=x^3-1, g(x)=x^2+x-1 e h(x)=x+2.
(ii) Existe k in R de maneira que f(x)+k g(x)=h(x) ?

Passo 1

O enunciado pede um escalar kinR tal que
f(x)+k,g(x)=h(x),
onde f(x)=x^3-1, g(x)=x^2+x-1 e h(x)=x+2. O conteúdo aqui é combinação linear de polinômios e vamos usar comparação de coeficientes.

Passo 2

Escrevemos a soma:
f(x)+k,g(x) =(x^3-1)+k,(x^2+x-1) =x^3 + k,x^2 + k,x +(-1 - k)

Passo 3

Para ter f(x)+k,g(x)=h(x)=x+2, os coeficientes de cada potência de x devem coincidir. Em particular, no termo x^3 temos da soma
coeficiente de x^3: 1
e em h(x) o coeficiente de x^3 é 0. Logo exigimos
1=0,
o que é impossível.

Passo 4

Como já há contradição no coeficiente de x^3, não precisamos nem verificar os demais termos: não existe k que faça o polinômio resultante igual a h(x).

Resposta

Não existe kinR tal que f(x)+k,g(x)=h(x).

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