Seja
o subconjunto de
, dado por
, isto é,
é o conjunto dos pontos interiores ao círculo de centro
e raio 1 .
é um subespaço de
? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado define
o disco aberto de raio 1 centrado na origem, e pergunta se
é subespaço vetorial de
. Para isso, vamos usar a definição: um subconjunto
é subespaço vetorial se, e somente se,
-
, - para todo
temos , - para todo
e todo escalar temos .
Passo 2
Verificamos que
pois
Logo o primeiro critério está OK, mas ainda falta checar fechamento em soma e multiplicação por escalar.
Passo 3
Para testar fechamento por soma, basta um contraexemplo. Tome
— mas atenção, queremos
, então escolhemos melhor
e repita
. Então
e
logo
. Assim,
não é fechado sob adição.
Passo 4
Alternativamente (ou também) podemos quebrar o critério de multiplicação por escalar. Seja
e escalar
. Então
e
logo
. Falha o fechamento por multiplicação escalar.
Resposta
Não.
não é subespaço de
porque não é fechado sob adição nem sob multiplicação por escalar.