Seja H o subconjunto de R^2, dado por H=(x, y) in R^2: x^2+y^2<1, isto é, H é o conjunto dos pontos interiores ao círculo de centro (0,0) e raio 1 . H é um subespaço de R^2 ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado define
H = (x,y)inR^2 : x^2 + y^2 < 1,
o disco aberto de raio 1 centrado na origem, e pergunta se H é subespaço vetorial de R^2. Para isso, vamos usar a definição: um subconjunto VsubseteqR^2 é subespaço vetorial se, e somente se,
  1. 0=(0,0)in V,
  2. para todo u,vin V temos u+vin V,
  3. para todo vin V e todo escalar alphainR temos alphavin V.

Passo 2

Verificamos que 0=(0,0)in H pois
0^2 + 0^2 = 0 < 1
Logo o primeiro critério está OK, mas ainda falta checar fechamento em soma e multiplicação por escalar.

Passo 3

Para testar fechamento por soma, basta um contraexemplo. Tome
u = (0,8,0) — mas atenção, queremos |u|<1, então escolhemos melhor
u = (0,8,0) não serve porque |u|=0,8<1(é válido), ãéá
e repita v=u. Então
u+v = (0,8,0)+(0,8,0) = (1,6,0)
e
|(1,6,0)| = 1,6 not< 1,
logo u+vnotin H. Assim, H não é fechado sob adição.

Passo 4

Alternativamente (ou também) podemos quebrar o critério de multiplicação por escalar. Seja
w = (0,9,0)in H,pois | (0,9,0)| = 0,9 <1,
e escalar alpha = 2. Então
alpha w = 2,(0,9,0) = (1,8,0),
e
|(1,8,0)| = 1,8 not< 1,
logo alphawnotin H. Falha o fechamento por multiplicação escalar.

Resposta

Não. H não é subespaço de R^2 porque não é fechado sob adição nem sob multiplicação por escalar.

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