Definimos z=-\sqrt{2+\sqrt{2}}+i \sqrt{2-\sqrt{2}}.
2-\mathrm{z}^{2} pode ser escrito na forma exponencial :
a. 4 e^{i \frac{\pi}{4}}
b. 4 \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \frac{\pi}{4}}
c. 4 \mathrm{e}^{\mathrm{i} \frac{3 \pi}{4}}
d. 4 \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \frac{3 \pi}{4}}.

Passo 1

O enunciado define
z = -\sqrt{2+\sqrt{2}} \;+\; i\,\sqrt{2-\sqrt{2}}
e pede para escrever 2 - z^{2} na forma exponencial 4e^{i\theta}, comparando com as opções:
a. 4e^{i\frac{\pi}{4}}
b. 4e^{-i\frac{\pi}{4}}
c. 4e^{i\frac{3\pi}{4}}
d. 4e^{-i\frac{3\pi}{4}}

Passo 2

Vamos primeiro achar z em forma polar. Calculemos
|z|^{2} = \bigl(-\sqrt{2+\sqrt{2}}\bigr)^{2} \;+\;\bigl(\sqrt{2-\sqrt{2}}\bigr)^{2} = (2+\sqrt{2}) + (2-\sqrt{2}) = 4
logo |z|=2.
Para o argumento, note que
\Re(z) = -\sqrt{2+\sqrt{2}}\approx -1{,}8478,\quad \Im(z) = \sqrt{2-\sqrt{2}}\approx 0{,}7654, \tan\varphi = \tfrac{0{,}7654}{1{,}8478}\approx 0{,}4142 = \tan\bigl(\tfrac{\pi}{8}\bigr),
e como \Re(z)<0,\Im(z)>0, tem-se
\arg z = \pi - \tfrac{\pi}{8} = \tfrac{7\pi}{8}.
Portanto
z = 2\,e^{\,i\frac{7\pi}{8}}.

Passo 3

Elevando ao quadrado:
z^{2} = \bigl(2\,e^{\,i\frac{7\pi}{8}}\bigr)^{2} = 4\,e^{\,i\frac{7\pi}{4}} = 4\,e^{-\,i\frac{\pi}{4}},
pois \tfrac{7\pi}{4} = 2\pi - \tfrac{\pi}{4}.

Passo 4

Agora calcule 2 - z^{2}:
2 - z^{2} = 2 - 4\,e^{-\,i\frac{\pi}{4}} = 4\Bigl(\tfrac12 - e^{-\,i\frac{\pi}{4}}\Bigr).
Seja
w = \tfrac12 - e^{-\,i\frac{\pi}{4}} = \tfrac12 - \Bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2} - i\,\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Bigr) = \frac{1-\sqrt{2}}{2} \;+\; i\,\frac{\sqrt{2}}{2}.
O módulo de w é
|w| = \sqrt{\Bigl(\tfrac{1-\sqrt{2}}{2}\Bigr)^{2} \;+\;\Bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Bigr)^{2}} \approx 0{,}7366,
logo |2 - z^{2}| = 4\,|w|\approx 2{,}946, e o argumento fica \arg w\approx 1{,}849\text{ rad}\approx 106^\circ.

Passo 5

Nenhuma das opções dadas tem módulo \,4 e ângulo \approx106^\circ. As alternativas a, b, c, d corresponderiam a pontos de módulo exato 4 e argumentos \tfrac{\pi}{4},-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{3\pi}{4},-\tfrac{3\pi}{4}, respectivamente, que não coincidem com o nosso resultado.

Resposta

Nenhuma das alternativas.

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