Definimos a variável aleatória R=barX-mu como sendo o erro amostral da média. E suponha que a variável aleatória X que indica salários dos funcionários segue o modelo normal com média mu e variância é igual a 400 unidades ao quadrado. Determine E(R) e Var(R).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Neste exercício, estamos lidando com estatística, especificamente com a média amostral e o erro amostral. A gente tem que descobrir a esperança matemática (E®) e a variância (Var®) da variável aleatória $ R = \bar{X} - \mu $. Aqui, $ \bar{X} $ representa a média dos salários dos funcionários, que seguem uma distribuição normal com média $ \mu $ e variância igual a 400 unidades ao quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a esperança matemática de $ R $, que é $ E® $. Sabemos que:
R
Como $ \mu $ é uma constante, $ E(\mu) = \mu $. Além disso, a esperança da média amostral $ \bar{X} $ é igual à média da população, ou seja, $ E(\bar{X}) = \mu $. Substituindo na equação:
E(R)
Então, a esperança matemática de $ R $ é zero.

Passo 3

Agora, vamos calcular a variância de $ R $, que é $ Var® $. Temos:
R
Como $ \mu $ é uma constante, a variância de $ \mu $ é zero e a covariância entre $ \bar{X} $ e $ \mu $ também é zero. Portanto:
Var(R)
A variância da média amostral $ \bar{X} $ é dada por:
Var(R) = Var(barX - mu)
Onde $ \sigma^2 $ é a variância da população (que é 400) e $ n $ é o tamanho da amostra. Substituindo esses valores:
mu

Resposta

Portanto, temos que:
E(R) = 0 e Var(R) = 400n

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