Distribuição Amostral da Diferença de Duas Médias. Consideremos duas populações normalmente distribuídas,
e
. Sorteiam-se duas amostras aleatórias independentes: a da primeira população de tamanho
e da segunda de tamanho
. Calcule
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre distribuição amostral da diferença de duas médias. Temos duas populações que seguem uma distribuição normal: $ X \sim \mathrm{N}(\mu_{1}, \sigma_{1}^{2}) $ e $ Y \sim \mathrm{N}(\mu_{2}, \sigma_{2}^{2}) $. Tiramos amostras aleatórias dessas duas populações, sendo que a primeira amostra tem tamanho $ n $ e a segunda tem tamanho $ m
\mathrm{E}(\bar{D})
\operatorname{Var}(\bar{D}) $) da diferença das médias amostrais. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre propriedades de distribuições normais e como calcular esperança e variância de combinações lineares de variáveis aleatórias.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que são as médias amostrais. Seja $ \bar{X} $ a média da amostra retirada da primeira população e $ \bar{Y} $ a média da amostra retirada da segunda população. A diferença das médias amostrais é então:
Para calcular a esperança de $ \bar{D} $, usamos a linearidade da esperança, que diz que a esperança de uma soma (ou diferença) de variáveis aleatórias é igual à soma (ou diferença) das esperanças dessas variáveis. Assim:
Sabemos que, para amostras de uma distribuição normal, a esperança da média amostral é igual à média da população. Portanto:
Substituindo na expressão anterior:
Passo 3
Agora vamos calcular a variância de $ \bar{D} $. A variância de uma diferença de variáveis aleatórias independentes é a soma das variâncias dessas variáveis. Ou seja:
Sabemos que a variância da média amostral é igual à variância da população dividida pelo tamanho da amostra. Então:
Substituindo na expressão da variância de $ \bar{D} $:
Resposta
A esperança de $ \bar{D} $ é $ \mu_{1} - \mu_{2} $ e a variância de $ \bar{D} $ é $ \frac{\sigma_{1}^{2}}{n} + \frac{\sigma_{2}^{2}}{m} $.