Distribuição Amostral da Diferença de Duas Médias. Consideremos duas populações normalmente distribuídas, X sim N(mu1, sigma1^2) e Y sim N(mu2, sigma2^2). Sorteiam-se duas amostras aleatórias independentes: a da primeira população de tamanho n e da segunda de tamanho m. Calcule E(barD) e Var(barD).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre distribuição amostral da diferença de duas médias. Temos duas populações que seguem uma distribuição normal: $ X \sim \mathrm{N}(\mu_{1}, \sigma_{1}^{2}) $ e $ Y \sim \mathrm{N}(\mu_{2}, \sigma_{2}^{2}) $. Tiramos amostras aleatórias dessas duas populações, sendo que a primeira amostra tem tamanho $ n $ e a segunda tem tamanho $ m X sim N(mu1, sigma1^2) éçá \mathrm{E}(\bar{D}) Y sim N(mu2, sigma2^2) â \operatorname{Var}(\bar{D}) $) da diferença das médias amostrais. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre propriedades de distribuições normais e como calcular esperança e variância de combinações lineares de variáveis aleatórias.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que são as médias amostrais. Seja $ \bar{X} $ a média da amostra retirada da primeira população e $ \bar{Y} $ a média da amostra retirada da segunda população. A diferença das médias amostrais é então:
barX
Para calcular a esperança de $ \bar{D} $, usamos a linearidade da esperança, que diz que a esperança de uma soma (ou diferença) de variáveis aleatórias é igual à soma (ou diferença) das esperanças dessas variáveis. Assim:
barY
Sabemos que, para amostras de uma distribuição normal, a esperança da média amostral é igual à média da população. Portanto:
barD = barX - barY
Substituindo na expressão anterior:
barD

Passo 3

Agora vamos calcular a variância de $ \bar{D} $. A variância de uma diferença de variáveis aleatórias independentes é a soma das variâncias dessas variáveis. Ou seja:
barD
Sabemos que a variância da média amostral é igual à variância da população dividida pelo tamanho da amostra. Então:
Var(barD) = Var(barX - barY) = Var(barX) + Var(barY)
Substituindo na expressão da variância de $ \bar{D} $:
Var(barX) = sigma1^2n e Var(barY) = sigma2^2m

Resposta

A esperança de $ \bar{D} $ é $ \mu_{1} - \mu_{2} $ e a variância de $ \bar{D} $ é $ \frac{\sigma_{1}^{2}}{n} + \frac{\sigma_{2}^{2}}{m} $.

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