Distribuição Amostral da Diferença de Duas Médias. Consideremos duas populações normalmente distribuídas,
e
. Sorteiam-se duas amostras aleatórias independentes: a da primeira população de tamanho
e da segunda de tamanho
. Defina a variável aleatória
. O que você entende por distribuição amostral de
?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas populações que seguem uma distribuição normal: a primeira com média
e variância
, e a segunda com média
e variância
. Tiramos amostras dessas populações, uma com tamanho
e outra com tamanho
. A variável
representa a diferença entre as médias dessas amostras. O conteúdo principal aqui é Distribuição Amostral da Diferença de Duas Médias. Vamos precisar entender como as médias amostrais se comportam e como elas se relacionam quando subtraídas uma da outra.
Passo 2
Primeiro, sabemos que a média amostral
de uma população normal
também segue uma distribuição normal. A média dessa distribuição é
e a variância é
. Ou seja:
Passo 3
Do mesmo jeito, a média amostral
da segunda população
também segue uma distribuição normal, com média
e variância
. Então:
Passo 4
Agora, queremos encontrar a distribuição da diferença
. Quando temos duas variáveis aleatórias normais independentes, a diferença delas também é uma variável normal.
Passo 5
A média da diferença
é simplesmente a diferença das médias das duas variáveis:
Passo 6
A variância da diferença
é a soma das variâncias das duas médias amostrais, já que elas são independentes:
Passo 7
Com isso, concluímos que a distribuição amostral de
é uma distribuição normal com média
e variância
. Ou seja:
Resposta
A distribuição amostral de
é uma distribuição normal com média igual à diferença das médias das populações,
, e variância igual à soma das variâncias das médias amostrais,
. Portanto: