Distribuição Amostral da Diferença de Duas Médias. Consideremos duas populações normalmente distribuídas, X sim N(mu1, sigma1^2) e Y sim N(mu2, sigma2^2). Sorteiam-se duas amostras aleatórias independentes: a da primeira população de tamanho n e da segunda de tamanho m. Defina a variável aleatória barD=barX-barY. O que você entende por distribuição amostral de barD?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas populações que seguem uma distribuição normal: a primeira com média mu1 e variância sigma1^2, e a segunda com média mu2 e variância sigma2^2. Tiramos amostras dessas populações, uma com tamanho n e outra com tamanho m. A variável barD = barX - barY representa a diferença entre as médias dessas amostras. O conteúdo principal aqui é Distribuição Amostral da Diferença de Duas Médias. Vamos precisar entender como as médias amostrais se comportam e como elas se relacionam quando subtraídas uma da outra.

Passo 2

Primeiro, sabemos que a média amostral barX de uma população normal X sim N(mu1, sigma1^2) também segue uma distribuição normal. A média dessa distribuição é mu1 e a variância é sigma1^2n. Ou seja:
barX sim N(mu1, sigma1^2n)

Passo 3

Do mesmo jeito, a média amostral barY da segunda população Y sim N(mu2, sigma2^2) também segue uma distribuição normal, com média mu2 e variância sigma2^2m. Então:
barY sim N(mu2, sigma2^2m)

Passo 4

Agora, queremos encontrar a distribuição da diferença barD = barX - barY. Quando temos duas variáveis aleatórias normais independentes, a diferença delas também é uma variável normal.

Passo 5

A média da diferença barD é simplesmente a diferença das médias das duas variáveis:
E[barD] = mu1 - mu2

Passo 6

A variância da diferença barD é a soma das variâncias das duas médias amostrais, já que elas são independentes:
Var(barD) = sigma1^2n + sigma2^2m

Passo 7

Com isso, concluímos que a distribuição amostral de barD é uma distribuição normal com média mu1 - mu2 e variância sigma1^2n + sigma2^2m. Ou seja:
barD sim N(mu1 - mu2, sigma1^2n + sigma2^2m)

Resposta

A distribuição amostral de barD = barX - barY é uma distribuição normal com média igual à diferença das médias das populações, mu1 - mu2, e variância igual à soma das variâncias das médias amostrais, sigma1^2n + sigma2^2m. Portanto:
barD sim N(mu1 - mu2, sigma1^2n + sigma2^2m)

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