Definimos a variável aleatória
como sendo o erro amostral da média. E suponha que a variável aleatória
que indica salários dos funcionários segue o modelo normal com média
e variância é igual a 400 unidades ao quadrado. Neste último caso, qual o valor de
, tal que
?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória $ R = \bar{X} - \mu $, que representa o erro amostral da média. Sabemos que os salários dos funcionários seguem uma distribuição normal com média $ \mu $ e variância igual a 400 unidades ao quadrado. O que precisamos encontrar é o valor de $ r $ tal que a probabilidade de o erro amostral $ R $ ser maior que $ r $ ou menor que $ -r $ seja igual a 0,01. Basicamente, queremos saber qual é a distância $ r $ da média $ \mu $ que cobre 99% dos casos, deixando 1% nas extremidades.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se $ X $ é normalmente distribuída com média $ \mu $ e variância 400, a média amostral $ \bar{X} $ também segue uma distribuição normal com média $ \mu $ e variância $ \frac{400}{n} $, onde $ n $ é o tamanho da amostra. Mas, como o tamanho da amostra $ n $ não foi informado na questão, vamos assumir que $ n = 1 $ para simplificar, ou seja, $ \bar{X} = X $.
Passo 3
Com $ n = 1 $, a variância da média amostral $ \bar{X} $ é igual à variância de $ X $, que é 400. Portanto, o desvio padrão $ \sigma $ de $ \bar{X} $ é $ \sqrt{400} = 20 $.
Passo 4
A variável $ R = \bar{X} - \mu $ também segue uma distribuição normal com média 0 e desvio padrão 20. Queremos encontrar $ r $ tal que $ P(|R| > r) = 0,01 $. Isso significa que 1% da distribuição está além de $ r $ em ambos os lados da média.
Passo 5
Para encontrar esse $ r $, precisamos descobrir o valor crítico da distribuição normal que deixa 0,5% em cada extremidade, já que $ 0,01 / 2 = 0,005 $. Buscamos o valor de $ z $ tal que $ P(Z > z) = 0,005 $.
Passo 6
Consultando uma tabela da distribuição normal padrão, ou usando uma calculadora, encontramos que $ z \approx 2,576 $ corresponde a $ P(Z > 2,576) = 0,005 $.
Passo 7
Agora, multiplicamos esse valor de $ z $ pelo desvio padrão $ \sigma $ para encontrar $ r $:
Resposta
O valor de $ r $ é aproximadamente 51,52 unidades.