Definimos z=-\sqrt{2+\sqrt{2}}+i \sqrt{2-\sqrt{2}}.
4- \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} e \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} são os cosseno e seno de :
a. \frac{7 \pi}{8}
b. \frac{5 \pi}{8}
c. \frac{3 \pi}{8}
d. \frac{\pi}{8}

Passo 1

O enunciado nos dá \displaystyle \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} = \cos\theta
e \displaystyle \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} = \sin\theta
e pede para identificar o ângulo \theta dentre as opções.

Passo 2

Usamos a fórmula de cosseno de ângulo metade:
\cos\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}.
Tomando \alpha = \frac{\pi}{4}, em que \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, obtemos
\cos\frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}.

Passo 3

Aplicamos a fórmula de seno de ângulo metade:
\sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}.
Com \alpha = \frac{\pi}{4}, temos
\sin\frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}.

Passo 4

Como ambos \cos\theta e \sin\theta são positivos, \theta está em (0,\tfrac{\pi}{2}). Os cálculos mostram que \theta = \tfrac{\pi}{8}.

Resposta

d. \displaystyle \frac{\pi}{8}

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