1- Resolver em \mathbb{C} a equação de incógnita z :
4 z^{2}+8 z+29=0 .

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{C} a equação quadrática
4z^2 + 8z + 29 = 0.
Vamos usar a fórmula de Bhaskara, que é válida também para coeficientes complexos.

Passo 2

Identificamos os coeficientes:
a = 4,\quad b = 8,\quad c = 29.
A solução geral de uma equação az^2 + bz + c = 0 é
z = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a},
onde \Delta = b^2 - 4ac é o discriminante.

Passo 3

Calculamos o discriminante:
\Delta = 8^2 - 4 \cdot 4 \cdot 29 = 64 - 464 = -400.
Como \Delta < 0, teremos raízes complexas conjugadas.

Passo 4

Extraímos a raiz quadrada de \Delta:
\sqrt{\Delta} = \sqrt{-400} = 20i.
Substituindo na fórmula de Bhaskara:
z = \frac{-8 \pm 20i}{2 \cdot 4} = \frac{-8 \pm 20i}{8} = -1 \pm \frac{5}{2}i.

Resposta

z_1 = -1 + \frac{5}{2}i
z_2 = -1 - \frac{5}{2}i

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