Questão 3: (3 pontos)
Entre as duas integrais abaixo, escolha uma para resolver e entregar a solução.
Entre as duas integrais abaixo, escolha uma para resolver e entregar a solução.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações relevantes dadas:
- A função a integrar é
. - É uma integral indefinida, portanto o resultado deve incluir a constante de integração
. - Não há outras restrições ou parâmetros.
Passo 2
Escolha do método: vamos usar integração por partes repetida. Motivo: a integral é produto de uma exponencial e uma função trigonométrica; aplicar integração por partes duas vezes cria uma equação para a própria integral que permite resolvê-la de maneira simples e sem transformar em funções complexas. A fórmula de integração por partes é
onde
e
são escolhidos de modo que
e
sejam fáceis de calcular.
Passo 3
Primeira aplicação de integração por partes. Defino
Calculo
e
:
Agora aplico a fórmula:
Substituindo
:
Simplificando os sinais, obtenho
Defino para facilitar:
A relação acima fica
Passo 4
Segunda aplicação de integração por partes para
. Defino
Então
Aplico integração por partes em
:
Simplificando:
Reconhecendo a integral que chamamos
:
Passo 5
Substituo a expressão de
encontrada no passo anterior na equação que relaciona
e
:
Desenvolvo os parênteses:
Agora isolo
somando
aos dois lados:
Logo
Dividindo por
:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Podemos escrever o resultado de forma um pouco mais legível factorizando
:
Teste rápido (opcional): derivando a expressão acima com relação a
deve voltar a
; essa verificação confirma que o processo algébrico está correto.