Questão 3: (3 pontos)
Entre as duas integrais abaixo, escolha uma para resolver e entregar a solução.
\int e^{-\theta} \cos (2 \theta) d \theta

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int e^{-\theta}\cos(2\theta)\,d\theta.
Informações relevantes dadas:
  • A função a integrar é e^{-\theta}\cos(2\theta).
  • É uma integral indefinida, portanto o resultado deve incluir a constante de integração C.
  • Não há outras restrições ou parâmetros.

Passo 2

Escolha do método: vamos usar integração por partes repetida. Motivo: a integral é produto de uma exponencial e uma função trigonométrica; aplicar integração por partes duas vezes cria uma equação para a própria integral que permite resolvê-la de maneira simples e sem transformar em funções complexas. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde u e dv são escolhidos de modo que du e v sejam fáceis de calcular.

Passo 3

Primeira aplicação de integração por partes. Defino
u=\cos(2\theta),\qquad dv=e^{-\theta}\,d\theta.
Calculo du e v:
du = \frac{d}{d\theta}\bigl(\cos(2\theta)\bigr)\,d\theta = -2\sin(2\theta)\,d\theta,
v = \int e^{-\theta}\,d\theta = -e^{-\theta}.
Agora aplico a fórmula:
\int e^{-\theta}\cos(2\theta)\,d\theta = uv - \int v\,du.
Substituindo u,v,du:
\int e^{-\theta}\cos(2\theta)\,d\theta = (-e^{-\theta}\cos(2\theta)) - \int \bigl(-e^{-\theta}\bigr)\bigl(-2\sin(2\theta)\bigr)\,d\theta.
Simplificando os sinais, obtenho
\int e^{-\theta}\cos(2\theta)\,d\theta = -e^{-\theta}\cos(2\theta) - 2\int e^{-\theta}\sin(2\theta)\,d\theta.
Defino para facilitar:
I=\int e^{-\theta}\cos(2\theta)\,d\theta,\qquad J=\int e^{-\theta}\sin(2\theta)\,d\theta.
A relação acima fica
I = -e^{-\theta}\cos(2\theta) - 2J.

Passo 4

Segunda aplicação de integração por partes para J. Defino
u=\sin(2\theta),\qquad dv=e^{-\theta}\,d\theta.
Então
du=\frac{d}{d\theta}\bigl(\sin(2\theta)\bigr)\,d\theta = 2\cos(2\theta)\,d\theta,
v=\int e^{-\theta}\,d\theta = -e^{-\theta}.
Aplico integração por partes em J:
J = uv - \int v\,du = (-e^{-\theta}\sin(2\theta)) - \int \bigl(-e^{-\theta}\bigr)\bigl(2\cos(2\theta)\bigr)\,d\theta.
Simplificando:
J = -e^{-\theta}\sin(2\theta) + 2\int e^{-\theta}\cos(2\theta)\,d\theta.
Reconhecendo a integral que chamamos I:
J = -e^{-\theta}\sin(2\theta) + 2I.

Passo 5

Substituo a expressão de J encontrada no passo anterior na equação que relaciona I e J:
I = -e^{-\theta}\cos(2\theta) - 2J = -e^{-\theta}\cos(2\theta) - 2\bigl(-e^{-\theta}\sin(2\theta) + 2I\bigr).
Desenvolvo os parênteses:
I = -e^{-\theta}\cos(2\theta) + 2e^{-\theta}\sin(2\theta) - 4I.
Agora isolo I somando 4I aos dois lados:
I + 4I = -e^{-\theta}\cos(2\theta) + 2e^{-\theta}\sin(2\theta).
Logo
5I = e^{-\theta}\bigl(-\cos(2\theta) + 2\sin(2\theta)\bigr).
Dividindo por 5:
I = \frac{1}{5}e^{-\theta}\bigl(-\cos(2\theta) + 2\sin(2\theta)\bigr) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Podemos escrever o resultado de forma um pouco mais legível factorizando e^{-\theta}/5:
\int e^{-\theta}\cos(2\theta)\,d\theta = \frac{e^{-\theta}}{5}\bigl(2\sin(2\theta)-\cos(2\theta)\bigr) + C.
Teste rápido (opcional): derivando a expressão acima com relação a \theta deve voltar a e^{-\theta}\cos(2\theta); essa verificação confirma que o processo algébrico está correto.

Resposta

\frac{e^{-\theta}}{5}\bigl(2\sin(2\theta)-\cos(2\theta)\bigr)+C

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