Sejam
subgrupos do grupo
. Mostre que
é um subgrupo de
, ou seja, que a interseção de subgrupos ainda é um subgrupo.
Passo 1
O enunciado define
onde cada
é um subgrupo de
. Queremos mostrar que
também satisfaz as condições para ser subgrupo de
, ou seja:
-
não é vazio (contém a identidade). -
é fechado sob produto. -
é fechado sob inverso.
Passo 2
Como cada
é subgrupo, temos a identidade
para todo
. Logo
logo
Portanto
.
Passo 3
Sejam
. Então, por definição de interseção, para todo
vale
Como cada
é subgrupo,
. Isso vale para todo
, logo
Assim
é fechado sob produto.
Passo 4
Seja
. Então
para todo
. Como cada
é subgrupo, seu inverso
também pertence a cada
. Portanto
mostrando que
é fechado sob inverso.