Sejam H1, ldots, Hn subgrupos do grupo G. Mostre que
H=H1 cap ldots cap Hn
é um subgrupo de G, ou seja, que a interseção de subgrupos ainda é um subgrupo.

Passo 1

O enunciado define
H = H1 cap cdots cap Hn
onde cada Hi é um subgrupo de G. Queremos mostrar que H também satisfaz as condições para ser subgrupo de G, ou seja:
  1. H não é vazio (contém a identidade).
  2. H é fechado sob produto.
  3. H é fechado sob inverso.

Passo 2

Como cada Hi é subgrupo, temos a identidade ein Hi para todo i=1,dots,n. Logo
ein H1 e ein H2 e cdots e ein Hn
logo
ein H1capcdotscap Hn=H
Portanto Hneqvarnothing.

Passo 3

Sejam a,bin H. Então, por definição de interseção, para todo i vale
ain Hi e bin Hi
Como cada Hi é subgrupo, abin Hi. Isso vale para todo i, logo
abin H1capcdotscap Hn=H
Assim H é fechado sob produto.

Passo 4

Seja ain H. Então ain Hi para todo i. Como cada Hi é subgrupo, seu inverso a^-1 também pertence a cada Hi. Portanto
a^-1in H1capcdotscap Hn=H,
mostrando que H é fechado sob inverso.

Resposta

H = H1capcdotscap Hn é subgrupo de G.

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