Sejam H1 subseteq H2 subseteq ldots subseteq Hn subseteq Hn+1 subseteq ldots subgrupos de um grupo G. Então,
H=cupi=1^infty Hi
é um subgrupo de G.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um grupo G e uma sequência de subgrupos H1 subseteq H2 subseteq ldots subseteq Hn subseteq Hn+1 subseteq ldots . A questão nos pede para mostrar que a união desses subgrupos, definida como
H = cupi=1^infty Hi,
também é um subgrupo de G . Para resolver isso, vamos precisar conhecer os conceitos de grupos e subgrupos, além de saber como verificar se um conjunto é um subgrupo.

Passo 2

Primeiro, lembremos o que é um subgrupo. Um subconjunto H de um grupo G é chamado de subgrupo se ele satisfaz três condições:
  1. Fechamento: Se a e b estão em H , então a cdot b também está em H .
  2. Elemento neutro: O elemento neutro de G está em H .
  3. Inversos: Se a está em H , então o inverso de a também está em H .
Precisamos verificar se a união H satisfaz essas três condições.

Passo 3

Vamos verificar o elemento neutro primeiro. Sabemos que cada Hi é um subgrupo de G , então o elemento neutro de G está em cada Hi . Logo, ele está em toda a união H .

Passo 4

Agora, vamos verificar os inversos. Se a está em H , então a pertence a algum Hk . Como Hk é um subgrupo, o inverso de a , a^-1 , também está em Hk , e portanto em H .

Passo 5

Por fim, vamos verificar o fechamento. Se a e b estão em H , então existem índices i e j tais que a in Hi e b in Hj . Sem perda de generalidade, suponha que i <= j . Como a sequência é crescente ( Hi subseteq Hj ), ambos a e b estão em Hj . Como Hj é um subgrupo, a cdot b também está em Hj , e portanto em H .

Resposta

Assim, verificamos que H = cupi=1^infty Hi satisfaz todas as condições para ser um subgrupo de G . Portanto, H é um subgrupo de G .

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