Sejam
subgrupos de um grupo
. Então,
é um subgrupo de
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um grupo
e uma sequência de subgrupos
. A questão nos pede para mostrar que a união desses subgrupos, definida como
também é um subgrupo de
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer os conceitos de grupos e subgrupos, além de saber como verificar se um conjunto é um subgrupo.
Passo 2
Primeiro, lembremos o que é um subgrupo. Um subconjunto
de um grupo
é chamado de subgrupo se ele satisfaz três condições:
- Fechamento: Se
e estão em , então também está em . - Elemento neutro: O elemento neutro de
está em . - Inversos: Se
está em , então o inverso de também está em .
Precisamos verificar se a união
satisfaz essas três condições.
Passo 3
Vamos verificar o elemento neutro primeiro. Sabemos que cada
é um subgrupo de
, então o elemento neutro de
está em cada
. Logo, ele está em toda a união
.
Passo 4
Agora, vamos verificar os inversos. Se
está em
, então
pertence a algum
. Como
é um subgrupo, o inverso de
,
, também está em
, e portanto em
.
Passo 5
Por fim, vamos verificar o fechamento. Se
e
estão em
, então existem índices
e
tais que
e
. Sem perda de generalidade, suponha que
. Como a sequência é crescente (
), ambos
e
estão em
. Como
é um subgrupo,
também está em
, e portanto em
.
Resposta
Assim, verificamos que
satisfaz todas as condições para ser um subgrupo de
. Portanto,
é um subgrupo de
.