A deformação D (em milimetros) de uma viga de sustentação sob uma carga x (em toneladas) é modelada pela função polinomial D(x)= 0.001 x^{3}+0.05 x. A ‘rigidez’ da viga pode ser entendida como a taxa de variação da deformação em relação à carga, D^{\prime}(x). Para uma carga de 10 toneladas, qual é a equação da reta que melhor aproxima linearmente o comportamento da deformação para pequenas variações em torno dessa carga?
\begin{aligned} & y=0.003 x^{2}+0.05 \\ & y=0.06 x-0.25 \\ & y=0.35 x-2 \\ & y=1.5 x-13.5 \\ & y=0.35 x+1.5 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá a deformação da viga como
D(x)=0.001\,x^{3}+0.05\,x
e pede a reta que melhor aproxima linearmente D(x) para pequenas variações em torno de x_{0}=10. Isso é a reta tangente a D em x_{0}, cuja equação geral é
y - D(x_{0}) = D'(x_{0})\,(x - x_{0}).

Passo 2

Vamos calcular a derivada de D:
D'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(0.001\,x^{3}+0.05\,x\bigr) =0.001\cdot3\,x^{2}+0.05 =0.003\,x^{2}+0.05.

Passo 3

Avaliando em x_{0}=10:
D'(10)=0.003\cdot10^{2}+0.05=0.003\cdot100+0.05=0.30+0.05=0.35,
D(10)=0.001\cdot10^{3}+0.05\cdot10=0.001\cdot1000+0.5=1+0.5=1.5.

Passo 4

Substituindo na fórmula da reta tangente:
y - 1.5 = 0.35\,(x - 10) \quad\Longrightarrow\quad y = 0.35\,x - 3.5 + 1.5 \quad\Longrightarrow\quad y = 0.35\,x - 2.

Resposta

y = 0.35 x - 2

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