Um sistema de controle de qualidade rejeita chapas de metal se a espessura E(x) (em mm) variar muito ao longo de seu comprimento x (em \mathrm{m}). A espessura é dada por E(x)=20-0.12 x^{2}+0.004 x^{3}. A especificação diz que a ‘taxa de variação da espessura’, \left|E^{\prime}(x)\right|, não pode exceder 0.3 \mathrm{~mm} / \mathrm{m}. Em qual dos seguintes pontos a chapa seria rejeitada?
x = 20 m
x=5m
x=15m
x= 10 m
Em nenhum dos pontos listados.

Passo 1

O enunciado dá a espessura da chapa como
E(x)=20 - 0.12\,x^{2} + 0.004\,x^{3},
e diz que a taxa de variação \bigl|E'(x)\bigr| não pode exceder 0.3\\ \mathrm{mm/m}. Para resolver, vamos calcular a derivada E'(x) e avaliá-la nos pontos listados.

Passo 2

Derivando term a term:
E'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(20\bigr) \;-\;\frac{d}{dx}\bigl(0.12\,x^{2}\bigr)\;+\;\frac{d}{dx}\bigl(0.004\,x^{3}\bigr) = -0.24\,x \;+\;0.012\,x^{2}.

Passo 3

Agora avaliamos E'(x) e seu valor absoluto em cada ponto:
E'(5) = -0.24\cdot5 + 0.012\cdot5^{2} = -1.2 + 0.3 = -0.9,\quad |E'(5)| = 0.9.
E'(10) = -0.24\cdot10 + 0.012\cdot10^{2} = -2.4 + 1.2 = -1.2,\quad |E'(10)| = 1.2.
E'(15) = -0.24\cdot15 + 0.012\cdot15^{2} = -3.6 + 2.7 = -0.9,\quad |E'(15)| = 0.9.
E'(20) = -0.24\cdot20 + 0.012\cdot20^{2} = -4.8 + 4.8 = 0,\quad |E'(20)| = 0.

Passo 4

Comparando com a especificação \bigl|E'(x)\bigr|\le0.3:
  • Em x=5, |E'(5)|=0.9>0.3 ⇒ rejeita.
  • Em x=10, |E'(10)|=1.2>0.3 ⇒ rejeita.
  • Em x=15, |E'(15)|=0.9>0.3 ⇒ rejeita.
  • Em x=20, |E'(20)|=0\le0.3 ⇒ conforme.

Resposta

A chapa é rejeitada em x=5\,\mathrm{m}, x=10\,\mathrm{m} e x=15\,\mathrm{m}.

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