Um processo químico em um reator de batelada produz uma substância cuja concentração C(t) (em g/L) varia com o tempo t (em horas) segundo a função C(t)=-t^{3}+9 t^{2}+21 t. Por razões de segurança, o processo deve ser interrompido quando a taxa de reação \left(C^{\prime}(t)\right) atingir seu valor máximo. Em que instante t isso ocorre?
t=21 horas
t=3 horas
t=4.5 horas
t=9 horas
t=7horas

Passo 1

O enunciado dá a concentração
C(t) = -t^{3} + 9\,t^{2} + 21\,t
e pede o instante t em que a taxa de reação C'(t) atinge seu valor máximo. Vamos usar cálculo de derivada e otimização de função quadrática.

Passo 2

Calculamos a derivada de C(t):
C'(t) = \frac{d}{dt}\bigl(-t^{3} + 9\,t^{2} +21\,t\bigr) = -3\,t^{2} + 18\,t + 21.

Passo 3

A função C'(t) = -3\,t^{2} + 18\,t + 21 é uma parábola com coeficiente de t^{2} negativo, logo concava para baixo e tem máximo no vértice. Para
a\,t^{2} + b\,t + c,
o vértice ocorre em
t = -\frac{b}{2\,a}.
Aqui a = -3 e b = 18, então
t = -\frac{18}{2 \cdot (-3)} = 3.

Resposta

t =3 horas

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