A potência P (em kW) consumida por uma máquina extrusora è função da velocidade de operação v(\mathrm{em} \mathrm{m} / \mathrm{s}), dada por P(v)=v^{3}-8 v^{2}+25 v+ 100 , para v \geq 0. O gerente de produção nota que, para baixas velocidades, aumentar a velocidade aumenta a potência, mas de forma cada vez mais lenta, até um ponto em que o aumento de potência começa a ‘acelerar’ novamente. Este ponto, onde a taxa de variação da potência é minima, é chamado de ponto de inflexão. Qual é a velocidade v neste ponto?
v=16/3 m/s
v=5 m/s
v=25 m/s
v=8/3 m/s
v=4 m/s

Passo 1

O enunciado dá a potência da máquina como
P(v) = v^{3} - 8v^{2} + 25v + 100,
função da velocidade v. Pede-se o ponto onde a taxa de variação de P é mínima (ponto de inflexão). Para isso vamos usar derivadas: a primeira derivada dá a taxa de variação e a segunda derivada indica concavidade.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada, que representa a taxa de variação de potência em função de v:
P'(v) = 3v^{2} - 16v + 25.

Passo 3

O ponto em que P'(v) atinge valor mínimo é onde sua derivada se anula, ou seja, onde a segunda derivada de P é zero. Calculamos
P''(v) = 6v - 16,
e igualamos a zero.

Passo 4

Resolvendo
6v - 16 = 0
obtém-se
v = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}.

Resposta

v = \tfrac{8}{3} m/s

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