A ‘Indústria Metalúrgica Lider’ descobriu que a receita total R, em milhares de reais, proveniente da venda de x toneladas de aço especial é R(x)=20 x-0.1 x^{2}. O custo total de produção C(x) é C(x)=0.2 x^{2}- 4 x+150. O lucro da empresa é máximo quando a receita marginal ( R^{\prime}(x) ) é igual ao custo marginal \left(C^{\prime}(x)\right). Para qual volume de produção x isso ocorre?
x=30 toneladas
x= 40 toneladas
x= 50 toneladas
x=20 toneladas
x= 12 toneladas

Passo 1

O enunciado dá a receita total
R(x)=20x-0.1x^{2}
e o custo total
C(x)=0.2x^{2}-4x+150
em que x é o volume produzido em toneladas. Queremos o valor de x para o qual o lucro é máximo, lembrando que isso ocorre quando a receita marginal R'(x) é igual ao custo marginal C'(x).

Passo 2

Para encontrar as marginais, derivamos cada função em relação a x:
R'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(20x-0.1x^{2}\bigr)=20-0.2x,
C'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(0.2x^{2}-4x+150\bigr)=0.4x-4.

Passo 3

Igualamos as marginais e resolvemos para x:
20-0.2x = 0.4x - 4.
Somando 0.2x a ambos os lados e somando 4 a ambos os lados, obtemos
20 + 4 = 0.4x + 0.2x
24 = 0.6x
x = \frac{24}{0.6} = 40.

Resposta

x = 40 toneladas

Exercícios relacionados