(deGroot) Suponha que uma caixa contenha 5 bolas vermelhas e 10 bolas azuis. Se 7 bolas são selecionadas aleatoriamente sem reposição, qual é a probabilidade de que pelo menos 3 bolas vermelhas sejam obtidas?
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
- Há
bolas vermelhas e bolas azuis numa caixa. - No total há
bolas. - Selecionam-se
bolas aleatoriamente sem reposição. - A pergunta: qual é a probabilidade de obter pelo menos
bolas vermelhas entre as selecionadas?
Observação importante: como só existem
bolas vermelhas, o número de bolas vermelhas obtidas
pode variar entre
e
. O evento pedido é
.
Passo 2
Definir a variável aleatória que vamos usar. Seja
o número de bolas vermelhas obtidas nas
retiradas. Então queremos calcular
Passo 3
Explicar o modelo combinatório (sem usar jargões excessivos): ao retirar sem reposição, todas as escolhas de conjuntos de
bolas entre as
são igualmente prováveis. Logo a probabilidade de um determinado número
de vermelhas é
O número total de maneiras de escolher
bolas dentre
é a combinação
O número de maneiras de escolher exatamente
vermelhas é: escolher
entre as
vermelhas e escolher as restantes
entre as
azuis, ou seja
Portanto a fórmula do problema (distribuição hipergeométrica) é
Aqui cada símbolo significa:
-
é “n escolhe r”, o número de subconjuntos de tamanho que se podem formar a partir de elementos; -
é o número de vermelhas obtidas; - os denominadores/ numeradores cumprem a ideia de contar escolhas favoráveis sobre escolhas totais.
Passo 4
Estratégia prática para calcular
: é mais fácil calcular o complementar e usar
Isso evita somar muitos termos; aqui só somamos três termos (
).
Passo 5
Calcular o denominador
. Usando a fórmula multiplicativa
Fazendo simplificações passo a passo:
Multiplicando na ordem conveniente:
Cancelando e calculando:
Portanto
Passo 6
Calcular as combinações necessárias para os casos
.
Para
:
Logo o numerador é
.
Para
:
Logo o numerador é
.
Para
:
Logo o numerador é
.
Passo 7
Calcular as probabilidades individuais:
Somando:
Passo 8
Aplicar o complementar:
Agora simplificar a fração. Dividindo numerador e denominador por
:
Dividindo novamente por
:
Portanto a probabilidade exata simplificada é
.
Passo 9
Dar uma aproximação decimal para intuição:
Força aí — isso significa que a chance de tirar pelo menos
vermelhas em
retiradas é um pouco menor que
. Consegue revisar os passos e praticar com números diferentes (por exemplo
vermelhas e
azuis) para fixar a técnica.