(deGroot) Suponha que uma caixa contenha 5 bolas vermelhas e 10 bolas azuis. Se 7 bolas são selecionadas aleatoriamente sem reposição, qual é a probabilidade de que pelo menos 3 bolas vermelhas sejam obtidas?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • 5 bolas vermelhas e 10 bolas azuis numa caixa.
  • No total há 15 bolas.
  • Selecionam-se 7 bolas aleatoriamente sem reposição.
  • A pergunta: qual é a probabilidade de obter pelo menos 3 bolas vermelhas entre as 7 selecionadas?
Observação importante: como só existem 5 bolas vermelhas, o número de bolas vermelhas obtidas X pode variar entre 0 e 5. O evento pedido é X\ge 3.

Passo 2

Definir a variável aleatória que vamos usar. Seja X o número de bolas vermelhas obtidas nas 7 retiradas. Então queremos calcular
\mathbb{P}(X\ge 3).

Passo 3

Explicar o modelo combinatório (sem usar jargões excessivos): ao retirar sem reposição, todas as escolhas de conjuntos de 7 bolas entre as 15 são igualmente prováveis. Logo a probabilidade de um determinado número k de vermelhas é
\mathbb{P}(X=k)=\frac{\text{nº de maneiras de escolher exatamente }k\text{ vermelhas}}{\text{nº total de maneiras de escolher }7\text{ bolas}}.ºº
O número total de maneiras de escolher 7 bolas dentre 15 é a combinação
\binom{15}{7}.
O número de maneiras de escolher exatamente k vermelhas é: escolher k entre as 5 vermelhas e escolher as restantes 7-k entre as 10 azuis, ou seja
\binom{5}{k}\binom{10}{7-k}.
Portanto a fórmula do problema (distribuição hipergeométrica) é
\mathbb{P}(X=k)=\frac{\binom{5}{k}\binom{10}{7-k}}{\binom{15}{7}}.
Aqui cada símbolo significa:
  • \binom{n}{r} é “n escolhe r”, o número de subconjuntos de tamanho r que se podem formar a partir de n elementos;
  • k é o número de vermelhas obtidas;
  • os denominadores/ numeradores cumprem a ideia de contar escolhas favoráveis sobre escolhas totais.

Passo 4

Estratégia prática para calcular \mathbb{P}(X\ge3): é mais fácil calcular o complementar e usar
\mathbb{P}(X\ge3)=1-\mathbb{P}(X\le2)=1-\big(\mathbb{P}(X=0)+\mathbb{P}(X=1)+\mathbb{P}(X=2)\big).
Isso evita somar muitos termos; aqui só somamos três termos ( k=0,1,2).

Passo 5

Calcular o denominador \binom{15}{7}. Usando a fórmula multiplicativa
\binom{15}{7}=\prod_{i=1}^{7}\frac{15-i+1}{i}=\frac{15}{1}\cdot\frac{14}{2}\cdot\frac{13}{3}\cdot\frac{12}{4}\cdot\frac{11}{5}\cdot\frac{10}{6}\cdot\frac{9}{7}.
Fazendo simplificações passo a passo:
\frac{15}{1}=15,\quad \frac{14}{2}=7,\quad \frac{13}{3}=\frac{13}{3},\quad \frac{12}{4}=3,\quad \frac{11}{5}=\frac{11}{5},\quad \frac{10}{6}=\frac{5}{3},\quad \frac{9}{7}=\frac{9}{7}.
Multiplicando na ordem conveniente:
15\cdot7\cdot\frac{13}{3}\cdot3\cdot\frac{11}{5}\cdot\frac{5}{3}\cdot\frac{9}{7} =105\cdot\frac{13}{3}\cdot3\cdot\frac{11}{5}\cdot\frac{5}{3}\cdot\frac{9}{7}.
Cancelando e calculando:
105\cdot\frac{13}{3}=35\cdot13=455, \qquad 455\cdot3=1365, \qquad 1365\cdot\frac{11}{5}=273\cdot11=3003,
3003\cdot\frac{5}{3}=1001\cdot5=5005, \qquad 5005\cdot\frac{9}{7}=715\cdot9=6435.
Portanto
\binom{15}{7}=6435.

Passo 6

Calcular as combinações necessárias para os casos k=0,1,2.
Para k=0:
\binom{5}{0}=1,\qquad \binom{10}{7}=\binom{10}{3}=\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}=120.
Logo o numerador é 1\cdot120=120.
Para k=1:
\binom{5}{1}=5,\qquad \binom{10}{6}=\binom{10}{4}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=210.
Logo o numerador é 5\cdot210=1050.
Para k=2:
\binom{5}{2}=10,\qquad \binom{10}{5}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=252.
Logo o numerador é 10\cdot252=2520.

Passo 7

Calcular as probabilidades individuais:
\mathbb{P}(X=0)=\frac{120}{6435},\qquad \mathbb{P}(X=1)=\frac{1050}{6435},\qquad \mathbb{P}(X=2)=\frac{2520}{6435}.
Somando:
\mathbb{P}(X\le2)=\frac{120+1050+2520}{6435}=\frac{3690}{6435}.

Passo 8

Aplicar o complementar:
\mathbb{P}(X\ge3)=1-\frac{3690}{6435}=\frac{6435-3690}{6435}=\frac{2745}{6435}.
Agora simplificar a fração. Dividindo numerador e denominador por 15:
\frac{2745}{6435}=\frac{183}{429}.
Dividindo novamente por 3:
\frac{183}{429}=\frac{61}{143}.
Portanto a probabilidade exata simplificada é \dfrac{61}{143}.

Passo 9

Dar uma aproximação decimal para intuição:
\frac{61}{143}\approx0,4266\quad(\text{arredondado a 4 casas decimais}).
Força aí — isso significa que a chance de tirar pelo menos 3 vermelhas em 7 retiradas é um pouco menor que 1/2. Consegue revisar os passos e praticar com números diferentes (por exemplo 6 vermelhas e 9 azuis) para fixar a técnica.

Resposta

\dfrac{61}{143}\approx0,4266

Exercícios relacionados