(Devore adaptado) A corrente em um determinado circuito, conforme medição feita por um amperímetro, é uma variável aleatória contínua
a) Calcule
?
b) Calcule
e também
.
c) Calcule o valor esperado e variância da corrente.
c) Calcule o valor esperado e variância da corrente.
Passo 1
O enunciado dá a função densidade da variável aleatória contínua
As perguntas são:
- (a) Calcular .
- (b) Calcular
e . - (c) Calcular o valor esperado
e a variância .
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O suporte da densidade é o intervalo
. - Para qualquer evento que envolva valores de
dentro de , as probabilidades são obtidas por integração de nesse intervalo. - Como
é uma densidade, deve integrar em (isto será verificado e usado).]
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (aulas rápidas e úteis):
- Para uma variável contínua com densidade
, a probabilidade de cair no intervalo é
- A função de distribuição acumulada (CDF) para
pode ser obtida por uma primitiva:
- Para variáveis contínuas,
para qualquer ponto isolado ; por isso .
Agora calculo
. Primeiro obtenho uma primitiva de
. Escrevendo
, uma primitiva é
(Explicação:
, então
vira
. E
.)
Então, para ,
Então, para
Calculo
e
:
Portanto
Comparação com
: como
é contínua,
, então
Passo 3
Agora resolvo a parte (b):
e
.
Usando a primitiva
do passo anterior:
Calculo
e
:
Logo
Para
usamos que a probabilidade total é
, e
.
Primeiro obtenho .
Portanto
Primeiro obtenho
Portanto
(Alternativamente poderia integrar
; o resultado é o mesmo.)
Passo 4
Parte (c): definição e cálculo do valor esperado
.
Conceito: Para variável contínua com densidade
,
No nosso caso, a integral reduz-se a
. Faço a integral passo a passo:
Uma primitiva é
(Explicando:
e
. Também
e
.)
Avalio de a
:
Avalio de
Logo
Em forma fracionária exata:
Passo 5
Cálculo da variância
.
Conceito:
. Então preciso de
.
Calculo
.
Uma primitiva é
Uma primitiva é
(Explicando:
e
. E
.)
Avalio de a
:
Avalio de
Então
Em forma fracionária exata:
Agora a variância:
Faço a subtração exatamente (denominador comum
):
Valor numérico:
(Unidade:
, pois é variância de corrente.)
Resposta
(a)
.
(iguais porque
é contínua).
(b) .
.
(c) .
.
(b)
(c)