(Devore adaptado) A corrente em um determinado circuito, conforme medição feita por um amperímetro, é uma variável aleatória contínua X\) com a seguinte função de densidade: \[f_{X}(x)= \begin{cases}0,075 x+0,2 & 3 \leq x \leq 5 \\\\ 0 & \text { caso contrário }\end{cases}
a) Calcule \mathbb{P}(X \leq 4)\]. Como esta probabilidade se compara a \(\mathbb{P}(X<4) ?
b) Calcule \mathbb{P}(3,5 \leq X \leq 4,5) e também \mathbb{P}(X>4,5).
c) Calcule o valor esperado e variância da corrente.

Passo 1

O enunciado dá a função densidade da variável aleatória contínua X\) (corrente medida em amperes): \[f_{X}(x)= \begin{cases}0,075\,x+0,2 & 3 \leq x \leq 5 \\[4pt] 0 & \text{caso contrário.}\end{cases}
As perguntas são:
  • (a) Calcular \mathbb{P}(X \leq 4)\] e comparar com \(\mathbb{P}(X<4).
  • (b) Calcular \mathbb{P}(3,5 \leq X \leq 4,5) e \mathbb{P}(X>4,5).
  • (c) Calcular o valor esperado \mathbb{E}[X] e a variância \mathrm{Var}(X).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O suporte da densidade é o intervalo [3,5].
  • Para qualquer evento que envolva valores de X dentro de [3,5], as probabilidades são obtidas por integração de f_X(x) nesse intervalo.
  • Como f_X é uma densidade, deve integrar 1 em [3,5] (isto será verificado e usado).]

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aulas rápidas e úteis):
  • Para uma variável contínua com densidade f_X, a probabilidade de X cair no intervalo [a,b]\subset\mathbb{R} é
\mathbb{P}(a\le X\le b)=\int_{a}^{b} f_X(x)\,dx.
  • A função de distribuição acumulada (CDF) para x\in[3,5] pode ser obtida por uma primitiva:
F(x)=\mathbb{P}(X\le x)=\int_{3}^{x} f_X(t)\,dt.
  • Para variáveis contínuas, \mathbb{P}(X=x)=0 para qualquer ponto isolado x; por isso \mathbb{P}(X\le x)=\mathbb{P}(X<x).
Agora calculo \mathbb{P}(X\le 4). Primeiro obtenho uma primitiva de f_X. Escrevendo f_X(x)=0,075x+0,2, uma primitiva é
A(x)=\int (0,075x+0,2)\,dx=0,0375\,x^{2}+0,2\,x.
(Explicação: \int x\,dx = x^{2}/2, então 0,075\cdot x vira 0,075\cdot x^{2}/2 = 0,0375 x^{2}. E \int 0,2\,dx = 0,2x.)
Então, para x\in[3,5],
F(x)=A(x)-A(3).
Calculo A(4) e A(3):
A(4)=0,0375\cdot 4^{2}+0,2\cdot 4=0,0375\cdot 16+0,8=0,6+0,8=1,4,
A(3)=0,0375\cdot 3^{2}+0,2\cdot 3=0,0375\cdot 9+0,6=0,3375+0,6=0,9375.
Portanto
\mathbb{P}(X\le 4)=F(4)=A(4)-A(3)=1,4-0,9375=0,4625.
Comparação com \mathbb{P}(X<4): como X é contínua, \mathbb{P}(X=4)=0, então
\mathbb{P}(X\le 4)=\mathbb{P}(X<4)=0,4625.

Passo 3

Agora resolvo a parte (b): \mathbb{P}(3,5\le X\le 4,5) e \mathbb{P}(X>4,5).
Usando a primitiva A(x) do passo anterior:
\mathbb{P}(3,5\le X\le 4,5)=\int_{3,5}^{4,5} (0,075x+0,2)\,dx = A(4,5)-A(3,5).
Calculo A(4,5) e A(3,5):
A(4,5)=0,0375\cdot (4,5)^{2}+0,2\cdot 4,5=0,0375\cdot 20,25+0,9=0,759375+0,9=1,659375,
A(3,5)=0,0375\cdot (3,5)^{2}+0,2\cdot 3,5=0,0375\cdot 12,25+0,7=0,459375+0,7=1,159375.
Logo
\mathbb{P}(3,5\le X\le 4,5)=1,659375-1,159375=0,5.
Para \mathbb{P}(X>4,5) usamos que a probabilidade total é 1, e \mathbb{P}(X>4,5)=1-\mathbb{P}(X\le 4,5).
Primeiro obtenho F(4,5)=A(4,5)-A(3)=1,659375-0,9375=0,721875.
Portanto
\mathbb{P}(X>4,5)=1-0,721875=0,278125.
(Alternativamente poderia integrar \int_{4,5}^{5} f_X(x)\,dx; o resultado é o mesmo.)

Passo 4

Parte (c): definição e cálculo do valor esperado \mathbb{E}[X].
Conceito: Para variável contínua com densidade f_X,
\mathbb{E}[X]=\int_{-\infty}^{\infty} x\,f_X(x)\,dx.
No nosso caso, a integral reduz-se a \int_{3}^{5} x(0,075x+0,2)\,dx. Faço a integral passo a passo:
x(0,075x+0,2)=0,075x^{2}+0,2x.
Uma primitiva é
B(x)=\int(0,075x^{2}+0,2x)\,dx=0,025x^{3}+0,1x^{2}.
(Explicando: \int x^{2}dx = x^{3}/3 e 0,075/3 = 0,025. Também \int x\,dx = x^{2}/2 e 0,2/2 = 0,1.)
Avalio de 3 a 5:
B(5)=0,025\cdot 5^{3}+0,1\cdot 5^{2}=0,025\cdot 125+0,1\cdot 25=3,125+2,5=5,625,
B(3)=0,025\cdot 27+0,1\cdot 9=0,675+0,9=1,575.
Logo
\mathbb{E}[X]=B(5)-B(3)=5,625-1,575=4,05.
Em forma fracionária exata:
\mathbb{E}[X]=\frac{81}{20}=4,05.

Passo 5

Cálculo da variância \mathrm{Var}(X).
Conceito: \mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}[X^{2}]-(\mathbb{E}[X])^{2}. Então preciso de \mathbb{E}[X^{2}]=\int_{3}^{5} x^{2}f_X(x)\,dx.
Calculo x^{2}f_X(x)=x^{2}(0,075x+0,2)=0,075x^{3}+0,2x^{2}.
Uma primitiva é
C(x)=\int(0,075x^{3}+0,2x^{2})\,dx=0,01875x^{4}+\tfrac{1}{15}x^{3}.
(Explicando: \int x^{3}dx = x^{4}/4 e 0,075/4 = 0,01875. E 0,2/3 = 1/15 \approx 0,066666\ldots.)
Avalio de 3 a 5:
C(5)=0,01875\cdot 5^{4}+\tfrac{1}{15}\cdot 5^{3}=0,01875\cdot 625+\tfrac{125}{15}=11,71875+8,\overline{3}=20,052083\ldots,
C(3)=0,01875\cdot 3^{4}+\tfrac{1}{15}\cdot 3^{3}=0,01875\cdot 81+\tfrac{27}{15}=1,51875+1,8=3,31875.
Então
\mathbb{E}[X^{2}]=C(5)-C(3)=20,052083\ldots-3,31875=16,733333\ldots
Em forma fracionária exata:
\mathbb{E}[X^{2}]=\frac{251}{15}\approx 16,733333\ldots
Agora a variância:
\mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}[X^{2}]-(\mathbb{E}[X])^{2}=\frac{251}{15}-\left(\frac{81}{20}\right)^{2}.
Faço a subtração exatamente (denominador comum 1200):
\mathrm{Var}(X)=\frac{20080}{1200}-\frac{19683}{1200}=\frac{397}{1200}.
Valor numérico:
\mathrm{Var}(X)=\frac{397}{1200}\approx 0,330833\ldots
(Unidade: \text{A}^{2}, pois é variância de corrente.)

Resposta

(a) \mathbb{P}(X\le 4)=0,4625. \mathbb{P}(X<4)=0,4625 (iguais porque X é contínua).
(b) \mathbb{P}(3,5\le X\le 4,5)=0,5. \mathbb{P}(X>4,5)=0,278125.
(c) \mathbb{E}[X]=\dfrac{81}{20}=4,05. \mathrm{Var}(X)=\dfrac{397}{1200}\approx 0,330833.

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