Determine a derivada de cada função:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você nos deu a função
e pediu para encontrar a derivada dela. Isso envolve o cálculo de derivadas de funções trigonométricas inversas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como derivar a função
e aplicar a regra da cadeia para funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função interna na nossa expressão. Aqui,
. A derivada da função
em relação a
é:
Isso faz parte das derivadas das funções trigonométricas inversas.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
. Já que
, a derivada de
é:
Isso é simplesmente aplicar a regra do poder para derivar
.
Passo 4
Para encontrar a derivada total de
em relação a
, usamos a regra da cadeia. Multiplicamos a derivada de
pela derivada de
:
Substituindo
de volta:
Passo 5
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a derivada fica:
Observação importante: A expressão dentro da raiz é negativa para todo
real, o que significa que a derivada não está definida no conjunto dos números reais. Isso indica que a função original
não possui derivada real para valores reais de
.
Resposta
A derivada de
é
, porém não está definida para valores reais de
.