Determine a derivada de cada função:
y = arccos(x^2 + 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você nos deu a função e pediu para encontrar a derivada dela. Isso envolve o cálculo de derivadas de funções trigonométricas inversas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como derivar a função e aplicar a regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função interna na nossa expressão. Aqui, . A derivada da função em relação a é:
Isso faz parte das derivadas das funções trigonométricas inversas.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a . Já que , a derivada de é:
Isso é simplesmente aplicar a regra do poder para derivar .

Passo 4

Para encontrar a derivada total de em relação a , usamos a regra da cadeia. Multiplicamos a derivada de pela derivada de :
Substituindo de volta:

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a derivada fica:
Observação importante: A expressão dentro da raiz é negativa para todo real, o que significa que a derivada não está definida no conjunto dos números reais. Isso indica que a função original não possui derivada real para valores reais de .

Resposta

A derivada de é , porém não está definida para valores reais de .

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