4 A distância percorrida por um carro é dada pela função p:[0, infty] R dada por p(t)= 16 t^3 / 2-24 t+16, em quilometros, para t >= 0, à leste de um referencial fixo no instante t horas. Pergunta-se:
(a) Qual a velocidade do carro no instante t=14 horas e qual é o sentido em que ele se move?
(b) Onde está o carro quando sua velocidade é zero?

Passo 1

O enunciado dá a posição do carro em função do tempo
p(t)=16,t^3/2-24,t+16,
em quilômetros a leste de um referencial, para t>=0. Pede-se
– em (a) a velocidade no instante t=tfrac14 h e o sentido do movimento,
– em (b) a posição do carro quando a velocidade é zero.
Para isso vamos usar que a velocidade é a derivada de p(t) e, em seguida, avaliar e resolver p'(t)=0.

Passo 2

Calculamos a derivada de p(t) usando a regra do poder e da soma:
p'(t)=ddtl(16,t^3/2r)-ddt(24,t)+ddt(16) =16cdot32,t^1/2-24+0 =24,t^1/2-24

Passo 3

Agora avaliamos a velocidade em t=tfrac14:
vl(tfrac14r)=p'l(tfrac14r) =24l(tfrac14r)^1/2-24 =24cdottfrac12-24 =12-24 =-12km/h

Passo 4

Como v(tfrac14)=-12 km/h é negativo, o carro se move para o oeste (sentido negativo em relação ao leste).

Passo 5

Para achar quando a velocidade é zero, resolvemos
24,t^1/2-24=0 Longrightarrow t^1/2=1 Longrightarrow t=1 h
Nesse instante, a posição é
p(1)=16cdot1^3/2-24cdot1+16 =16-24+16 =8km a <=ste

Resposta

(a) A velocidade é -12 km/h no instante t=tfrac14, ou seja, o carro vai para o oeste.
(b) A velocidade zera em t=1 h, quando o carro está a 8 km a leste do referencial.

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