Deixe as integrais em coordenadas polares a fim de calcular o valor.
\int_{-1}^{0} \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}\right) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{-1}^{0}\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dy\,dx
usando coordenadas polares. O conteúdo é mudança de variável em integrais duplas e vamos precisar conhecer a relação entre (x,y) e (r,\theta) e o fator de Jacobiano.

Passo 2

Primeiro identificamos a região de integração no plano xy. As condições são
-1 \le x\le 0,\quad 0\le y\le \sqrt{1-x^{2}},
ou seja, o quarto de círculo de raio 1 no segundo quadrante (onde x\le0 e y\ge0). Em coordenadas polares:
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
e a região corresponde a
0\le r\le 1,\quad \frac{\pi}{2}\le \theta\le \pi.

Passo 3

Na mudança de variável temos x^{2}+y^{2}=r^{2} e o Jacobiano dx\,dy = r\,dr\,d\theta. Logo a integral fica
\int_{\theta=\pi/2}^{\pi}\int_{r=0}^{1} r^{2}\cdot r \,dr\,d\theta =\int_{\pi/2}^{\pi}\int_{0}^{1} r^{3}\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calculamos primeiro a integral interna em r:
\int_{0}^{1} r^{3}\,dr =\left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{1} =\frac{1}{4}.

Passo 5

Agora integramos em \theta:
\int_{\pi/2}^{\pi} \frac{1}{4}\,d\theta =\frac{1}{4}\,\bigl[\theta\bigr]_{\pi/2}^{\pi} =\frac{1}{4}\,\Bigl(\pi-\frac{\pi}{2}\Bigr) =\frac{\pi}{8}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{8}

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