Deixe as integrais em coordenadas polares a fim de calcular o valor.
A região R acima do eixo x entre os limaçons r=1+\cos \theta e r=2+2 \cos \theta.
\iint_{R} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} d A

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral
\iint_{R}\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,dA
na região R que, em coordenadas polares, é delimitada entre os limaçons
r_{1}(\theta)=1+\cos\theta \quad\text{e}\quad r_{2}(\theta)=2+2\cos\theta
e fica acima do eixo x. O conteúdo aqui é mudança para coordenadas polares, em que x=r\cos\theta, y=r\sin\theta e dA=r\,dr\,d\theta.

Passo 2

Como a região está acima do eixo x, temos y\ge0, logo
\theta\in[0,\pi].

Passo 3

Em coordenadas polares, a integranda fica
\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{1}{r},
e o elemento de área é dA=r\,dr\,d\theta. Assim a integral vira
\int_{0}^{\pi}\int_{r_{1}(\theta)}^{r_{2}(\theta)} \frac{1}{r}\;r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Dentro da integral radial o r se cancela, sobrando
\int_{0}^{\pi}\int_{1+\cos\theta}^{2+2\cos\theta}1\,dr\,d\theta =\int_{0}^{\pi}\Bigl[r\Bigr]_{1+\cos\theta}^{2+2\cos\theta}d\theta =\int_{0}^{\pi}\bigl((2+2\cos\theta)-(1+\cos\theta)\bigr)d\theta.
Simplificando o integrando:
(2+2\cos\theta)-(1+\cos\theta)=1+\cos\theta.

Passo 5

Agora integramos em \theta:
\int_{0}^{\pi}(1+\cos\theta)\,d\theta =\int_{0}^{\pi}1\,d\theta+\int_{0}^{\pi}\cos\theta\,d\theta =\Bigl[\theta\Bigr]_{0}^{\pi}+\Bigl[\sin\theta\Bigr]_{0}^{\pi} =\pi+0=\pi.

Resposta

\displaystyle \pi

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