Deixe as integrais em coordenadas polares a fim de calcular o valor.
Para a região R externa à circunferência r=\frac{1}{2} e interna à pétala mais à direita da rosácea r=\cos (2 \theta).
\iint_{R} 1 d A

Passo 1

O enunciado pede a área da região R dada por
– externa à circunferência r=\tfrac12
– interna à pétala mais à direita da rosácea r=\cos(2\theta)
em coordenadas polares, ou seja
\iint_{R}1\,dA
Vamos encontrar os limites em \theta e em r e então calcular.

Passo 2

A pétala mais à direita de r=\cos(2\theta) corresponde a \cos(2\theta)\ge0, ou seja \theta\in[-\tfrac\pi4,\tfrac\pi4].
Como queremos pontos em que a circunferência r=\tfrac12 fica por fora, precisamos de \cos(2\theta)\ge\tfrac12.
Resolver \cos(2\theta)=\tfrac12
2\theta=\pm\tfrac\pi3\quad\Longrightarrow\quad \theta=\pm\tfrac\pi6.
Logo a região existe somente para \theta\in[-\tfrac\pi6,\tfrac\pi6].

Passo 3

Em coordenadas polares a área é
\iint_{R}1\,dA =\int_{\theta=-\frac\pi6}^{\frac\pi6} \int_{r=\frac12}^{r=\cos(2\theta)} r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calcular primeiro a integral em r:
\int_{r=\frac12}^{\cos(2\theta)}r\,dr =\left.\frac{r^{2}}{2}\right|_{r=\frac12}^{r=\cos(2\theta)} =\frac{\cos^{2}(2\theta)}{2}-\frac{1}{8}.

Passo 5

A área fica
\int_{-\frac\pi6}^{\frac\pi6}\Bigl(\frac{\cos^{2}(2\theta)}{2}-\frac18\Bigr)\,d\theta.
Usando \cos^{2}(2\theta)=\tfrac{1+\cos(4\theta)}2 temos
\frac{\cos^{2}(2\theta)}{2}-\frac18 =\frac{1+\cos(4\theta)}{4}-\frac18 =\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\frac{\cos(4\theta)}{4} =\frac{1}{8}+\frac{\cos(4\theta)}{4}.
Então
\int_{-\frac\pi6}^{\frac\pi6}\!\Bigl(\frac{1}{8}+\frac{\cos(4\theta)}{4}\Bigr)d\theta =\frac{1}{8}\Bigl(\frac\pi3\Bigr) +\frac{1}{4}\Bigl[\frac{\sin(4\theta)}{4}\Bigr]_{-\frac\pi6}^{\frac\pi6} =\frac{\pi}{24}+\frac{1}{4}\cdot\frac{\sqrt3}{4} =\frac{\pi}{24}+\frac{\sqrt3}{16}.

Resposta

\iint_{R}1\,dA =\int_{-\frac\pi6}^{\frac\pi6}\!\int_{\frac12}^{\cos(2\theta)}r\,dr\,d\theta =\frac{\pi}{24}+\frac{\sqrt3}{16}.

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