Deixe as integrais em coordenadas polares a fim de calcular o valor.
Para a região R externa à circunferência r=\frac{1}{2} e interna à pétala mais à direita da rosácea r=\cos (2 \theta).
\iint_{R} 1 d A
Passo 1
O enunciado pede a área da região R dada por
– externa à circunferência r=\tfrac12
– interna à pétala mais à direita da rosácea r=\cos(2\theta)
em coordenadas polares, ou seja
\iint_{R}1\,dA
Vamos encontrar os limites em \theta e em r e então calcular.
Passo 2
A pétala mais à direita de r=\cos(2\theta) corresponde a \cos(2\theta)\ge0, ou seja \theta\in[-\tfrac\pi4,\tfrac\pi4].
Como queremos pontos em que a circunferência r=\tfrac12 fica por fora, precisamos de \cos(2\theta)\ge\tfrac12.
Resolver \cos(2\theta)=\tfrac12 dá